Разложение в степенные ряды и суммирование их методом почленного дифференцирования и интегрирования

Оглавление:

Разложение в степенные ряды и суммирование их методом почленного дифференцирования и интегрирования

Разложение в степенные ряды и суммирование их методом почленного дифференцирования и интегрирования. Дифференцируя или консолидируя известное разложение ряда Тейлора, можно получить разложение новой функции мощности Series. So например, консолидировать формулы геометрического ряда Диапазон от 0 до x! Икс! 71 (это законно. Так как ряд (37.57) сходится равномерно к отрезку и заканчивается \ x \ 1 точками 0 и x), то получаем известную формулу(37.54). Ранее это выражение было доказано полуинтервалом (-1; 1), а теперь только об интервале (-1, 1), но оно не известно по теореме Абеля о 2-степенных рядах (С. 37. 1) из эффективности интервала (-37.54) на 1; 1) x = 1 сразу же после начала effectiveness.

В результате производной или интеграла определенного степенного ряда сумма может быть в состоянии получить известный ряд. Людмила Фирмаль

In факт, серия на правой стороне этого Уравнение сходится при x = 1, и поэтому эта сумма непрерывна в этой точке (см. теорему 3 в§ 37.1), функция 1n (14 -) также непрерывна при x = 1, поэтому, если мы знаем, что она действительна с обеих сторон (37.54), то мы можем достичь предела как x −1 −1-1.Это также доказывает эффективность x = 1. Это позволяет рассчитать сумму начального степенного ряда. Пример 1.Найти расширение набора функций agcxx. Я заметила. (aGC5!Р Х)’ =、 (agsst) ’расширяется до ряда в соответствии с формулой для расширения степени бинома (см.§ 37.6). Ноль ноль ！ = 1 и y (2в-1) » ^ в В 1-х * 2пп ^ \ Н = 1 (37.58） (agschl.) ’ Икс агс51пл.= ^ о Ага. = * + 2 Н = 1 (2 га-1)!! (2 га)!! x2pi 2 га -) −1.

Радиус сходимости полученного ряда равен 1(см. книгу). Если вы интегрируете ряд от 0 до x(37.58), вы получите: 2.Функция AGC! Расширяйте мир!§ L. используйте его в степенном ряду, чтобы найти последовательность, в которой сумма равна mc. ags4e * = $ TT ^ = ^ \ 21(-I）» / 2 «）^ == ^ ха = 0 ха = 0 д; 2 га + 1 2 га + г (37.59） Как и в случае с ACT / example 1, существует x \ 1. Заметим, что поскольку альтернативы сходятся, ряд, полученный для x =±\по критерию Лейбница (§ 35.9, см. теорему 11) сходится. Ноль ноль В(-1） » ^ 2га + 1• ха = 0 Функция agc (§x непрерывна с x = ±1, поэтому, согласно 2-й теореме Абеля о степенном ряду (§ 37.1, см. теорему 3), сумма ряда (37.59) является непрерывной функцией§ 37. 650. Соответствует интервалам [-1, 1] и ags1§l. интервал (-1,+ 1) соответствует конечной точке x==.

То есть разложение (37.59) справедливо для интервала[-1,+1].Возьми это. В этом разложении, например, x = 1, Обратите внимание, что agc!§ 1= ^、 И л \ 1(-1） » 4-21 2И + 1 ′ н = 0 Эта линия называется линией Лейбница. Обратите внимание, что арктангенс определяется всей фактической числовой осью, особенно интервалом [вне-1]. ！] * Это можно легко проверить, найдя радиус сходимости по формуле (37.8′) и т. д. Анализ этого явления проводится в теории функций комплексных переменных. 3.Найти сумму ряда И 5 (х)= 2 РНР•(37.60） Н = 1 Золото П* * * С (Ки) * » + 1 Компьютер = м Радиус сходимости этого ряда равен 1.Это можно легко проверить, например, на основе д’Аламбера.

Однако расширение в степенном ряду справедливо только для этого сегмента. За пределами этого сегмента ряд расходится. Людмила Фирмаль

Таким образом, ряд (37.60) сходится абсолютно против| x|. Ответвление на 1 / х / 1.От (37.60) $（*） И 2 px » −1 1 * \ 1. Н-1 Длительность от 0 до X И И ^ 1 X Икс * л = 1 И тогда различают идентичность результата. 3 (х) й х 1 X ух 1-х (1-х) » • * [!。 (1 — х) г ’ В результате получается 8 (x) 37.8.Формула Стирлинга Шестьсот шестьдесят один 4.Найти сумму ряда Да. Z7 резца-Б1 Н-1 Радиус сходимости этого ряда равен 1.Это можно легко проверить так же, как, например, в серии (37.60).путем различения серии (37.61) по терминам. ОО 8CH4-2 41. Н-1 Затем, используя разложение логарифма (см.§ 37.6), получаем. И * 5 ’（）= 2〜= −1n(1 —), и 1, или 5Chx)=Н = 1 Обратите внимание, что 5 (0)= 0, и наконец О Поэтому ответ здесь не выражается в элементарных функциях.

Выделение главной части.	Формула Стирлинга.
Классификация бесконечно больших.	Формула и ряд Тейлора для многомерных вектор-функций.