Как и в случае ряда Тейлора (Маклорена), ряд Фурье не всегда сходится к порождающей функции. Выясним, при каких условиях ряд Фурье для функции всё-таки сходится и имеет своей суммой как раз функцию
.
Эти условия изложены в теореме Дирихле, представляющей собой достаточное условие разложимости периодической функции с периодом
в ряд Фурье. Сформулируем её без доказательства.
Теорема Дирихле: Пусть периодическая функция с периодом
на отрезке
удовлетворяет двум условиям:
1) кусочно — непрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода;
2) кусочно — монотонна, т.е. монотонна на всём отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна. Тогда соответствующий функции
ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:
- в точках непрерывности функции сумма ряда совпадает с самой функцией:
;
- в каждой точке разрыва
функции
сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции в данной точке справа и слева;
- на концах отрезка (в точках
и
) сумма ряда равна

Таким образом, если функция с периодом
на отрезке
удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, то для неё имеет место разложение в ряд Фурье:
, где коэффициенты Фурье
вычисляются по формулам


Заметим, что большинство функций, которые встречаются в математике и её приложениях, удовлетворяют условиям теоремы Дирихле, поэтому для них ряд Фурье сходится к порождающей функции в обычном смысле. Однако существуют функции, не удовлетворяющие условиям теоремы Дирихле, но при этом разложимые в ряд Фурье. Таким образом, теорема Дирихле даёт лишь достаточное условие разложимости, но не необходимое.
Пример №37.2.
Разложите в ряд Фурье функцию на отрезке
.
Решение:
Так как функция дифференцируема на
и удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, то она разложима в ряд Фурье. Собственно ряд Фурье для неё на
был получен в примере 37.1.:

Следовательно, разложение в ряд Фурье для функции на отрезке
имеет вид:

При этом значение полученного ряда в концах интервала равно , следовательно, сумма ряда равна значению порождающей функции
для всех точек интервала
.
Ответ: .