Оглавление:
Разложение целого числа в сумму по степеням основания системы счисления
В следующих примерах показано применение формулы
а также её обобщения на случай систем счисления с произвольным основанием.
Пример №2.
Доказать, что разность двузначных чисел 
всегда делится на 9.
Решение:
Поскольку 
то
Пример №3.
Шестизначное число начинается с цифры 2. Если эту цифру перенести на последнее место, то полученное число будет втрое больше первоначального. Найти первоначальное число.
Решение:
Обозначим первоначальное число 
Тогда в результате перестановки первой цифры в конец числа получится новое число 
. По условию задачи имеем уравнение
Преобразуем числа к виду 
, и введём новую неизвестную 
. Тогда уравнение примет вид
Решив уравнение, найдём п = 85714 . Ответ: 285714.
Пример №4.
Известно, что натуральное трёхзначное число 
делится нацело на 37. Могут ли числа 
также делиться нацело на 37?
Решение:
По условию 
Тогда
Ответ: числа q и r всегда делятся на 37.
Пример №5.
Показать, что каждое число последовательности 49, 4489, 444889, 44448889, 4444488889,… является полным квадратом.
Решение:
Обозначим 
п -й член данной числовой последовательности. Воспользовавшись представлением (1), преобразуем 
:
Выражения в скобках являются суммами геометрических прогрессий. Используя формулу для суммы первых п членов геометрической прогрессии 
знаменателем q , а именно 
, упрощаем эти выражения. Итак,
Поскольку число 
делится нацело на 3 (по признаку делимости на 3), то задача решена.
Пример №6.
Сформулировать и доказать признак делимости на 7 для четырёхзначных чисел.
Решение:
Выведем требуемый признак делимости. Пусть 
произвольное четырёхзначное число. Представим его в виде
Далее, представим каждое из слагаемых (за исключением последнего) в виде суммы числа, кратного 7, и некоторого ненулевого остатка:
Здесь каждое из чисел 994а , 98b , 7с, очевидно, делится на 7.
Теперь можно сформулировать искомый признак (в действительности, это критерий): «Четырёхзначное число делится нацело на 7 тогда и только тогда, когда выражение 
кратно 7».
Пример №6.1.
В какой системе счисления (двоичной, троичной, четверичной, пятеричной и т.д.) справедливо равенство
Решение:
Пусть данное равенство справедливо в некоторой системе счисления с основанием р :
Заметим, что, так как в записи чисел присутствует цифра 4, то 
. Переведём все числа в более удобную и привычную при проведении расчётов десятичную систему счисления:
Тогда в десятичной системе равенство примет вид 
. Решая это квадратное уравнение, находим 
Ответ: равенство верно только в шестеричной системе счисления.
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
