Оглавление:
Разложение функций в тригонометрические ряды, определение коэффициентов
- Разложите функцию на ряд тригонометрических функций и определите коэффициенты. Самое удивительное в этом рассуждении то, что в это время Эйлер уже распадается на ряд тригонометрических функций (которые, конечно, вполне формально получены), а именно l g e b R a В «дифференциальном методе» (1755) мы находим разложение 81PHN—— 2——1——z—— 1—— 3—- N — =—(13) [см. n°406, 1)], своему другу
Гольдбаху в 1744 г. В 1760 году была опубликована работа Эйлера, написанная в 1754 году. Пять. —5— ~———= значение COS х+ACOs2+А2 поп-ЗХ+А3 поп 4 ~ 4… И, если предположить, что=±1, то он будет первым, чтобы использовать в ы х О Д Я с а м ы я серия Х4 поп-поп-поп на ZX 2х+поп-4х4 -… =- Поп-Н-поп-2 х 4-поп, ж-поп 4 х 4… = , (14)
А к ним Т О Р О й закрепляют почки и получают результат: 81P ч Два. Три. Людмила Фирмаль
81P2x, 81P ж Четыре. (15) 432ЧАП. XXIV. ряд Фурье[423 [Г-жа № 406,2) 1. «Вам не нужно ставить константу, и сама сумма исчезает при X=0», — объясняет Эйлер.Эйлер не имеет никаких указаний на применимость этих и подобных разработок. Интересно, что Эйлер n e получает расширение до (13), медленно интегрируя n E R из серии (14) в o g o. это позже стало (1772) D. Бернулли сделал. Он, прежде всего,
подчеркивает определение интегральной константы в равенстве , 81P2X, 81P Z h, 81p 81P4h, h АП х++. . . =S-t требует»благоразумия»: например, просто подставить x=0 не подходит для этой цели.Бернулли предполагает x= -^, используя известные ряды Лейбница[n°255, (20)] и 1 . . Здесь c=Т. Бернулли (впервые!) Интервал от 0 до 2 TS, а равенство для x=0 (2ts) здесь не имеет места-точно
- указывает область применимости полученного разложения). Более того:другим расстояние:от 2к до 4К, от 4К до БЦ, и т. д. Вам нужно соответствующим образом изменить константу интеграции (но это, похоже,»противоречит закону непрерывности»). Важной задачей при определении коэффициентов разложения тригонометрических функций, вообще, по-видимому, при изучении теоретической астрономии, является постановка Клеро первого в 1757 г. Он имеет дело с расширением функции в интервале от ОДО TC ряда косинусов. Сначала автор решает задачу интерполяции, ограничивая ее
конечным числом n членов ряда и добиваясь совпадения одного и того же числа значений функций и их суммы равноудаленных точек. Тогда только он «берет N бесконечностей», то есть он берет n бесконечностей. Е., по существу, перейти к пределу и установить»точное» значение коэффициента в виде знакомой интегральной формулы[n°405,*) (1). Шесть.)] * ) Задача интерполяции-связанная с проблемой формы колеблющейся струны-решена Лагранжем несколько лет спустя; Сам Эйлер получил ту же формулу в 1777 году, но на этот раз она была получена
по методу, который теперь нам знаком-медленное закрепление. Эйлера (работа Эйлера Людмила Фирмаль
была опубликована со значительными задержками-только в 1798 году) Эйлер формулирует свои результаты в виде»общей теоремы»и то,что ее условия допускают функции p R o и z V o l n I функции, которые допускают это, и нет никаких сомнений. Поворотный пункт этого вопроса уже создан в начале прошлого века исследованиями Фурье, специализирующимися на математической теории теплопередачи. Эти работы, о которых сообщалось в Парижской академии в виде отдельных докладов и мемуаров, начавшихся в 1807 году, были значительно обобщены в работе»аналитическая теория
теплоты»(1822) и вскоре приобрели известность. Фурье, как и Эйлер, также устанавливает интегральную формулу для коэффициентов треугольного разложения функции на медленный Интеграл. В простой возможности вычисления коэффициентов «совершенно произвольных функций» из этих формул он уверен в допустимости самого разложения для всех таких функций. Сильное впечатление на современников Фурье произвело разложение 424]§5. Очерк по истории тригонометрических функций серия 433 Например, функция, которая подчиняется различным законам в разных частях интервала: l Два. 1-поп па. НС-0<х<а, ———————— 81P=< Для A<X<I, N=1 1o.
Разложение Фурье(с интервалами от 0 до TS!)ч е т н У Ю функцию соз х синус,ч е ч е т н у функции соз 81P х Косинус. В конце концов, разница между»смешанной»функцией и»непрерывной» функцией (в терминологии Эйлера) была сглажена. В то же время старые споры о тригонометрическом разложении «произвольных» функций разрешились в пользу Бернулли! В некоторых случаях можно было непосредственно проверить сходимость расширения Фурье к
соответствующей функции. С другой стороны, эти расширения нашли все большее применение в математической физике. Но, несмотря на все это, идея Фурье поначалу вряд ли вызывала симпатию:медленная интеграция была в привычке времени, но это была вседозволенность времени.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
| Основная лемма | Сходящиеся последовательности и их свойства. |
| Некоторые примеры приложения формулы Остроградского | Ортогональные системы функций |
