Оглавление:
Разложение функций с интегрируемым квадратом в ряд Фурье
Разложение функций с интегрируемым квадратом в ряд Фурье. В §55 мы изучили ряд Фурье тригонометрических функций для классических рядов Фурье, то есть функций, которые могут быть абсолютными integrable.In этот раздел, из общей теории рядов Фурье в гильбертовом пространстве, и тригонометрических функций функций класса более узкого, чем абсолютная интегрируемость, то есть интервал [i, i]является квадратом.То есть для функций в пространстве Hb2 [i,i] (см. Пример 57.8 в§3). 1, СО $ X, 51pxy…,0505ПХ, 5шпх,…(58.2） Элементы этой системы/ e! коэффициенты Фурье ^ [i, i]определяются в соответствии с (58.23) по формуле. b°= 2 ^（/、1）、b ^ = 〜 ( / , CO5), bn= -〜/, 81P nx), (58,47） rf = 1, 2,… Ибо! 1 = V2, / / cos px/]/, 2 = 151npx|//, 2 = 〜 \ / i (см.§58.1).
Во-первых, обратите внимание на использование тригонометрических систем, если они находятся в гильбертовом пространстве в ортогональных системах. Людмила Фирмаль
- Если / непрерывная функция на отрезке[-1, π], тогда / е СЕ2 [-1, π] С/、2 [-,,]]。 Сравнивая выражение коэффициентов Фурье/(58.47) с выражением (55.6) (обычно скалярное произведение задается выражением (57.30)), выражение коэффициента a0 (58.47) является выражением (55.6) 1/2 times.In соблюдая традицию, мы продолжаем следовать формуле А0 (55.6). другими словами、 (58,48)） АО ’ (/, 1） 58.6.Разложение функций Фурье 497. Затем запишите тригонометрический ряд Фурье в виде И г + ^ АП С08 Н С + Н 81n рН. Н-1 Поскольку эта система полна в пространстве b2 [-1, π] (см. Пример 3 в§58.3), применение теоремы 6 к тригонометрической системе (58.2) дает следующую теорему: Теорема 12.Каждый элемент f e 12 [i, z]расширяется в этом пространстве до ряда Фурье тригонометрической системы.
И / = г-Б 2 апсо $ ПХ + б » 51px, ($58.49） л. да. Кроме того, равенство Парсеваля И Н-1 Последствия 1.Каждая функция f (x） 1) является ограничением в смысле дробной суммы Фурье 8N (x) квадратичного среднего (см.§57.5) на тригонометрической системе функций как n -°°°. Франц.) [/(х)-8″(х)] 2 ух = 0; (58.50） 2)и для ее, Персеваль равенство-это правда ОО |П (х) DX = 1 + ^°н + Б1. (58.51)） Я Л = 1 Система 2.Если все коэффициенты Фурье функции[существует интегрируемый квадрат в интервале[-1, z]] и тригонометрическая система (58.2) равны нулю, то она равна нулю. Где N-1,2,…Коэффициенты Фурье всех мест определяются по формуле (58,47), а коэффициент an определяется по формуле (58,48). Сама теорема 12 соответствует теореме 6, поэтому только результат требует доказательства.
- Вот почему вы можете использовать функцию f (x) как функцию с квадратом, который может быть интегрирован в сегмент [-i, i], т. е. f(x) e [i, i]（ 57.4 в пункте 8 и 57.8 в пункте 3). Прежде всего, следует отметить, что эквивалентная функция y (x) (см. Определение§57.10 38) имеет те же коэффициенты Фурье, а следовательно, и те же ряды Фурье.Это пространство V?Он основан на том, что полуцветное произведение L2 [I, I]не изменяется в случае его§58.Их регулярн-линия основания и расширения Сорок девять » Заменить коэффициент эквивалентным (см. формулу (57.41)).И так оно и есть.、 б = 1-0, 1) Л2 = ^(^, я * = 1П (а ведь СХ) КЗ = ^ {§, потому что СХ) ки、 Bn = 1 (([, 3ШППХХ） n = 1, 2,… * .
Я7, 2 [-1,]] (см.§57.10 РАО=^, 1)$ b2. к =〜[п СРХ) Да2, БН =〜(Р, индекса CNX) Да2、 С-2、 То есть, ряд Фурье элемента P ^ P?/ , 2 [i, i] c = b2 [i, i]соответствует ряду Фурье каждой функции/ eP.Разложение происходит согласно теореме 12 в пространстве b2 [n, i Да. P =°2 + ^ccccos NX \ bn $ 1 n NX, (58.52） Н = 1 И равенства поншеваль ОО ^11 = 1 + 2 a * n + b % -58 -53) n = 1 н 5n (x)= ^φ ^ a * cos kx + 6 * zx kx-для частичной суммы &= 1 Сходимость этого ряда к элементу P в ряду Фурье (58.52), пространстве 1.2 [l, l]равна、 Золото| / P7-(x)=0.(53.54） п ►СО 1П-8н (х) 1Б = я /(х) 5н(х)! (58.55） Если, теперь,/ eP, ω (см. (57.42).
Итак, если обозначить через P класс эквивалентной функции, содержащий функцию D, то по определению (57.41) мы имеем скалярное произведение класса эквивалентной функции, то есть скалярное произведение пространства. Людмила Фирмаль
- Скалярный продукт и полускалярный индекс продукта указывают пространство, в котором берется рассматриваемая часть. 58.6.Разложение функций Фурье Четыреста девяносто девять Где l /(x)-8n(x) qi *-Семинол| π, π] в пространстве функции f (x) 8n (x).Это f( x) -5 ^ (x) 1 <p-8n (x). (С 58.54) и(с 58.55)、 Тю $ [/(х) 8н(х)<РХ = РП | / Ф(Х) 8н(х） л * оол П * с То есть равенство (58.50)будет доказано. Кроме того, по той же формуле (57.42), равенство 1? к、= 1/1 * 1、= 1 / ^ р(х) ух G-L Кроме того, поскольку коэффициенты Фурье P и/одинаковы, (58.51) продолжается непосредственно из (58.53). Чтобы доказать систему 2, все коэффициенты Фурье функции / e b2 [-1,]] равны каждому 3.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
