Различные виды формулы Фурье.

Оглавление:

Различные виды формулы Фурье.

Различные типы уравнений Фурье. Предполагая, что вышеуказанные условия применимости формулы Фурье выполнены, точка x, о которой идет речь, состоит в том, что функция/(x) непрерывна или, если она прерывиста, условие y (d)=(x)./ После этого, по крайней мере,

мы 4 » ОО4-00 /(х)= — 1 — <1г Г/(К)поп г(I-х) Йи. (7) 6-ОО Ввиду того, что внутренний Интеграл, очевидно, является четной функцией g, это выражение можно переписать: 4-00 4 * ° /(х)=2^г г/(м)с=2 (н-х)(1и. 00-00. (8) Кроме того, легко показать, что интеграл существует

при общем предположении, сделанном в n°410 для функции/(x) 4-ОО У/(я)81p2 (I— Людмила Фирмаль

х)Ди. (9) — ох. Кроме того, этот Интеграл является непрерывной функцией 2, что, очевидно, странно. Вообще говоря, в этой функции уже невозможно гарантировать существование неправильного интеграла от—OO до-{-oo. Для некоторых функцийОО-А1 для n e z a b I I m o m и Бесконечности пределы для h A S t n o m u могут, по-

видимому, существовать для предположения, что M=n. Такой предел называется главным значением интеграла, за которым следует Коши, v. R. (Ua1eig rpps1ra1e)4-co V. R.\ SD (g) b / 2=PGA L L1 — >00 00411]$3. Целое число Фурье 405 Если Интеграл существует в соответствии с обычным определением неправильного интеграла, он явно совпадает с его основным значением. Рассматривая странную функцию(9) G,

имеем ли мы M4—OO U12u/(n) 81pg (n-x) b?N=O-M — co и M — * * OO пределы также будут равны нулю. Так что в любом случае В. П. 4~ОО4 ~ 0 0 $1G5 — ОО-ОО / (I) 81P2 (I-x) 1i=0. Умножим на это уравнение и сложим (8) и придем к соотношению 4 -0 0 -|-0 0 /(х)=^Y2Y / (я)e1g м~х>АИ, — 00-ОО (10) Здесь Внешний Интеграл понимается в смысле главного значения и впервые был представлен Коши в виде

выражения. Вернитесь к выражению (7) и запишите его в следующем виде ОО4-ОО /(з)=-СО3 2х6&у/(Я)поп-211 1и+ O-OO OO4-0 0 4—81P2X(12/(и) 81P211 111. Ох Этот Если (I) — функция h E t n A i、 4-0 0 00 4″0 0 /(I) POPs2i1i=2 / (I)POPs211§ / (a)z’t2i1i=0, — ОО0-ОО И тогда мы получим упрощенную формулу, которая содержит только K o s и n u s s : ООУ ООУ /(x)=—2X pops(12/(I) POPS211 1i. (11) аналогично, в случае n E h E t n-й функции/(x) мы приходим только к выражению, содержащему синие усы : О, да. /(з)=-^ — 81PX (12/(я)81p211 1и.(12) О

Здесь функция/(x) задается только интервалу[0,+OO], и условия для этого интервала Людмила Фирмаль

удовлетворяют условиям, аналогичным тем, которые были заданы ранее для всего интервала (—OO,+OO). Затем 406CHAP. XXIV. ряд Фурье[412 Расширить функцию/(x) до интервала (- OO, 0)с равенством (x>0)): /(- X)=/(X) или/ (—X)=-/(X),мы получаем в первом случае h e n u u,а во втором-N e h e t n u функцию в интервале (- OO,+OO). Таким образом, для положительных значений x можно использовать как выражение (11), так и выражение (12). Предполагая, что функция/(x) непрерывна в точке x=0, выражение (11)также может быть применено в этой точке. Формула для точки x=0(12) не применяется:она воспроизводит значение/(0) только в том случае, если это значение равно нулю. Эти соображения очень похожи на то, что было сказано в p°405 о рядах Фурье.

Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье	Преобразование Фурье
Представление функции интегралом Фурье.	Приближение функций в среднем. Экстремальные свойства отрезков ряда Фурье