Оглавление:
Разделение переменных в физике
- Разделение переменных. Во многих важных случаях нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби может быть достигнуто путем так называемого разделения переменных. Суть в следующем. Предположим, есть координаты. qi-соответствующий дифференциал dS / dqi входит в уравнение Гамильтона-Якоби только в некоторой форме комбинации Cf без других координат (<71, дСм / дки) (или Время) и производные, т. Е.
Форма уравнения * {• ■ * • && * «)} -» • (4S.1) qi указывает набор всех координат, кроме q . В этом случае ищите решение в виде общего S = S \ qi, t) + S1 (q1). (48,2) Подстановка этого уравнения в уравнение (48.1) дает: (48 часов) Предположим, решение (48.2) найдено. Потом вниз Когда установлено уравнение (48.3), последний должен быть действительным тождеством, особенно для любого значения координаты q .
разбивается на два уравнения Людмила Фирмаль
Однако при изменении q \ изменяется только функция φ. Таким образом, тождество уравнения (48.3) требует, чтобы сама функция φ была постоянной. Вот так Уравнение (48.3) . f (® ‘H O = «b (48-4) f {«• * •! ■ • f’ ° «} = 0- <48-5> Где нефть — произвольная постоянная.
Первым из них является обыкновенное дифференциальное уравнение, функция S ± (q ±) Вы можете определить с простой интеграцией. После этого уравнение в частных производных (48.5) сохраняется, но число независимых переменных уменьшается.
- Когда все s могут быть разделены непрерывно этим методом Нахождение координат и времени, а затем полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби является полностью квадратурным. Для консервативной системы просто разделите переменную (координату) s уравнением (47.6) Разделение, желаемый интеграл уравнения S = 52 s k (qk; «b •••, as) -E (a b …, cts) t, (48,6) к Каждая из функций Sk зависит только от одной из координат.
И энергия E как функция любых констант oci, …, ocs Получается путем подстановки So = в уравнение (47.6). Частным случаем разделения является случай обращения. Переменный. Поскольку циклическая координата q \ не введена явно в функцию Гамильтона, она также введена в уравнение Гамильтона-Якоби.
что разделение времени в форме консервативной системы Людмила Фирмаль
Функция φ (<71, dS / dq {) просто уменьшается в этом случае Поскольку dS / dq \ и Si = ociqi получены из уравнения (48.4), S = S ′ (qi, t) + Oiiqi. (48,7) Константа oti — это просто постоянное значение импульса pi = dS / dqi, соответствующее периодической координате. Обратите внимание, — этот термин также соответствует методу разделения.
Переменная «циклической переменной» t. Это упрощает все ранее рассмотренные случаи. Таким образом, интегральные уравнения движения, основанные на использовании периодических переменных, рассматриваются Разделение переменных уравнения Гамильтона-Якоби.
Для них Координаты не являются периодическими, но некоторые случаи добавляются, если переменные могут быть разделены. Все это приводит к тому, что метод Гамильтона-Якоби является наиболее мощным способом нахождения общих интегралов уравнений движения. Разделить переменные уравнения Гамильтона-Якоби Правильный выбор координат имеет важное значение.
Рассмотрим некоторые Пример разделения переменных в разных координатах. Это может быть физически интересно в связи с проблемами перемещения важных точек в различных внешних областях.
1. Сферические координаты. Эти координаты (r, 0, ср) Функция Гамильтона n = ^ 2-m (Vp r2 + r42 + «r2A sin and 0) / + и (4 r, 0, φ)» Когда возможно разделение переменных tt / \ | b (Q), s (f) U = a (r) + -V + 9 2 n> г 2 г 2 с м 2 0 Где a (r), b (0) и c (φ) — произвольные функции. Последний участник Это представление не представляет большого физического интереса, поэтому рассмотрим поле вида u = a (r) + bw. (48,8)
В этом случае уравнение Гамильтона-Якоби функции Sq 2 ^ (x) + a (r) + 2 ^ (x) + 2m6 (0) + + 1 f ^) 2 = E 2m r 2 s in 2 in \ d c p J Учитывая периодичность координаты φ, решение вида 5o = rff + 51 (г) + 52 (0) И получим уравнения для функций Si (r) и S2 (0) (F) 2 + 2mb (e) + 5 ^ = P, + «(R) + 5 ^ = k Когда они интегрированы, конечный результат выглядит следующим образом: S = E t + pv
2 + z2) -U (p, 4>, z) (Функция Лагранжа цилиндрических координат), получим следующее L = y (Ј + l) (x + V) + (48,13) Импульс равен = + Pn = + Pf = nrE, r \ f И функция Гамильтона H = l 4 0 L + S t + u <- ^ — <48L4> Физически интересный случай разделения переменных Эти координаты соответствуют потенциальной энергии пены И α (Ј,) + b (l) _a (r + z) + b (r-z) ^ Ј, + L 2r ‘ Есть уравнение 2 ^ |
Периодическая координата cp отделяется как rff. умножение Далее, перегруппировка уравнений и членов для m (Ј, + Γ |) дает 2 ^ (^) + ша (Ј) ш ^ ++ 2ri (^ f) + ш ^ (л) — = о. Ввод 5 ° -Rff + 5i (Ј) + ^ Cn)? Получены два уравнения 2Ј> (g) 2 + ma (^} — m El + ft = p ’ 2l (f) 2 + + § = -E Когда вы интегрируете их, вы можете наконец увидеть: 5 = — * + 1Vp + / ^ + ± — = + / \ l f + <48-16) П о з з о о л и сто яны м и р ф, (3, ^. 3. Эллиптические координаты. Эти координаты r „r | Введено по формуле p = oy (Ј2-1) (1-l2), 2 = aЈ, l- (48.17)
Константа а является параметром преобразования. координировать Его ловушка, Единство, чтобы Был, и координаты G | к -1 До +1. Введение расстояний r1 и r2 в точки A1 и A2 на оси z дает более интуитивные геометрические отношения. Координаты z = ) (4 т + 1 ^) + + -1) (1-λ2) φ2- и (E, µ, φ). (48.19) С этого момента функция Гамильтона H = 2шст2 (Ј, -l2) (Ј, 2-1) p | + (1-l2) ^ + + + I — ^^ f2) pi \ + U ^^) — (48-2 °)
Физически интересные случаи переменного разделения соответствуют потенциальной энергии U =! ? ^ = ЈМоЈ1) + ’(ЈЈ1) b <48-21> Где a (b,) и b (r ) — произвольные функции. Результат разделения переменных уравнения Гамильтона-Якоби выглядит следующим образом: S = -E t + P (pv + J ^ 2 + _ _ ^ Z ^ + + J yj2t, o2E + _ _ jЈ_ рфн. (48.22)
Задание 1. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби для движения частиц в поле а U = -F z г (Суперпозиция кулоновских и однородных полей), найти конкретные функции координат и импульса, характерные для таких движений. Решения. Это поле имеет тип (48.15) a (Ј,) = a-yЈ, 2, b (q) = a + yл2-
Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби дается уравнением (48.16) с использованием этих функций a (Ј,) и b (r |). (3, напишите уравнение, чтобы уточнить значение константы 2 2 Ep% + ma (Ј,) -TEEE, + | | | | = | 3, 2 2tspi + mb (l) -tec + ^ = «P- Вычтите одно из этих уравнений из другого, чтобы представить импульс р ^ = = dS / dE и pc = OS / dc импульс pp = dS / dp и pz = qi dS / dz
Получите линдрические координаты после простого приведения. 2 k r, pp, h, i ^ cp — + — {zpp-ppz) + — ^ z r m mpz = v. Выражение в квадратных скобках является интегралом движения, присущего чистому кулоновскому полю (z-компонента вектора (15.17)). 2. То же самое для поля u = nO (l C1 +, yO_C2 G \ G2 (Два стационарных центральных кулоновских поля, каждое на расстоянии 2 г От друзей).
Решения. Относится к этому полю Тип (48.21) и Масло + 0С2 секунды. , Нефть -OS2 а (Ј,) = ————— Ј ,, b (l) = ——- ——— Л- Действие (Ј ,, r |; cf, t) порождает подстановку По этим формулам (48.22). Значение константы (3 будет пояснено так же, как на рисунке 55 Сделано в задании 1. В этом случае он представляет собой хранилище следующих значений: 2 (3 = st2 (pp2 + -M 2 + 2mcj (ai cos 0i + 0С2cos 0 2), GD6 lMJ 2 = [g rp] i 2 = p2pz 2 +, pz2p 2 +, — ^ 2fР-ф-20zppzpp, a 0i и 02 — углы, показанные на рисунке. 55.
Смотрите также:
| Теорема Лиувилля в физике | Адиабатические инварианты |
| Уравнение Гамильтона-Якоби | Канонические переменные в физике |
Если вам потребуется помощь по физике вы всегда можете написать мне в whatsapp.
