Равномерная непрерывность и модуль непрерывности

Равномерная непрерывность

Равномерная непрерывность. Модуль непрерывности. Если функция / непрерывна на отрезке, это означает, что для любой точки x этого отрезка и для любого числа e все точки x ’отрезка (в зависимости от точки x и числа e) равны. \ х ’-х | 8,(6.13） 228. Неравенство сохраняется. Я /(* ’)-А (х)| е.(6.14 )） Если вы можете выбрать число 6.13 независимо от точки x, так что условие (6.14) выполняется, когда выполняется условие (), то функция A называется равномерной непрерывностью. Остановимся далее на определении этого важного понятия. Определение 3.Функция a, определяемая отрезком[a, b], имеет произвольные 2 точки X∈[a, b]и x ’ε[a, b]существует 8 \ x ’-x | 8, неравенство| /(x ’)-/(x)| e. В символьной нотации определение непрерывности функций на отрезке выглядит следующим образом: V x V e 3 8 V x’, | x’ x / 8. | / (x’) /(x) / e, и определение равномерной непрерывности является: V e 3 8 V x, x’, | x’ x / 8. | /(х ’)-/(х)| е.(6.15 )） Где точки x и x ’принадлежат отрезку, на котором рассматривается функция/.

Ясно, что все функции, равномерно смежные через равные промежутки времени, являются смежными. Людмила Фирмаль

• Если вы измените точку x в определении равномерной непрерывности, вы получите определение непрерывности в этой точке. Пример 1.Функция A (x)= x равномерно непрерывна по числовой оси. И это неудивительно, ведь если дана е, то достаточно взять 8 = e. In в этом случае| x-x ’/ 8, то по равенству A (x)= x, A(x’) = x’,| A(x)-A (x’) | e. 2.Функции A (x)= 81n, x ^не являются равномерно смежными, поскольку область определения, то есть точка x=, смежна на удаленной числовой оси. На самом деле, например e = 1, для любых малых 8 существуют точки x и x’, например 1 ′ 1 x = n-2 +2N и x = ZP −2 + 2 p n (n достаточно Большие натуральные числа) x-x ’/ 8, в то же время| A(x)-A(x’) | 1. Двести двадцать девять Два » 3.Функция A (x)= x не является равномерно непрерывной на всем протяжении Числовой оси K.

Это равенство для фиксированного Hfor Это [/(Х + З)-/(х)] = К [(Х + З) 2-Х2] = х<sup class=»reg»>®</sup>идти х<sup class=»reg»>®</sup>перейти = Он(2хв + Н2)= идти. х<sup class=»reg»>®</sup>идти Итак, если дано e, то, что бы ни было 8, зафиксируйте HΦ, / H / 8, неравенство| /(x + H)-/(x)| e. Т Е О Р Е М А 5 (Кантор).Функции, непрерывные на отрезке равномерно непрерывной на отрезке. Доказательство. Докажем теорему противоречием. Предположим, что существует непрерывная функция в некотором интервале[a, b], но она не является равномерно непрерывной на it. It точки x∈[a, B]и x ’€[a, b]для любых 8,| x’-x / 8, но / f (x ’) A (x) e. In в частности, если 8 = 1 / n, есть точки, которые указывают на них в xn и x’N. \ хп-хп \ Н,(6.Шесть） Но… | /(хп)-/(хп)| электронная. (6.17 )） Из столбца{xn}точек характеристики компактности (см. теорему 4 в§ 4.6) могут отличать сходящуюся подпоследовательность{x}.

• И мы покажем этот предел с помощью x. Это xn = x. (6.18） Ему (х)= А(х). (6.18） (6.19 )） потому что A x b, V = 1, 2,…,a x b (см.§ 4.3).Потому что функция A непрерывна в точке x、 КВ х°\ 1hpV КЗК я Я с XP / г х (6.16 )） Т и Х » Х. (6.18） Для Vth подпоследовательность {x^} последовательности{xn}также сходится к точке x. Двадцать три Гм А(х н) = ф(Хо). Так… (6.2） к<sup class=»reg»>®</sup> к Из (6.19)и (6.2) РМ [/(х;)-/(х)] = /(хо) а (Хо)=、 к<sup class=»reg»>®</sup> к Все это V = 1, 2,…противоречит условиям неравенства 1г.) А (х;.1). к к (6.17)） Полученное противоречие доказывает теорему. Я не уверен. Определение! Дайте функцию A в интервале[a, b].Тогда сумма ω(/; [А, B])= РСП | а(Х ’)-/(Х)| (6.21） х, х ’ Е [А, Б] Она называется колебаниями функции A на отрезках[a, b].

Условия равномерной непрерывности могут быть сформулированы относительно так называемых колебаний функций на отрезках. Людмила Фирмаль

• Из 2 значений A(x’)-A (x) и A (x) A (x’) 1 явно не отрицательно, поэтому оно не больше 2, поэтому значение верхнего предела в правой части уравнения (6.21) не изменяется вместо абсолютного значения| A (x’)A (x)|разности A (X’) 〜A (x’) A (x’) A (x) это разность yu(A; [a, b])= spr [A (x’)Dx)]. х, х ’ Е [А, Б] Верно следующее утверждение. Для того чтобы функция A была равномерно смежной на отрезках[a, b], должно быть 8 так, чтобы длина отрезка[x, x ’]с[a, b] для e была меньше 8. x ’ x 8, неравенство Ю (А; [Х, Х’]) е.(6.22） На самом деле x, x ’€[x, x’], поэтому из неравенства(6.22)| A (x’)A (x)|вытекает утверждение (6.15). И наоборот, если выполняется утверждение (6.15), то для e существует 8, а для 2 точек x и x ’интервала[a, b], удовлетворяющих условию[x’ x |8, неравенство.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Промежуточные значения непрерывных функций.	Многочлены и рациональные функции.
Обратные функции.	Показательная, логарифмическая и степенная функции.