Оглавление:
Рассмотрение уравнения относительного некоторой величины
Пусть имеется уравнение (неравенство), которое необходимо решить относительно неизвестной . Если в уравнении имеется параметр, то в некоторых случаях такое уравнение удобно решать относительно параметра (или какой-либо другой величины). Наиболее часто среди задач этой группы встречаются задачи, решаемые как квадратные относительно параметра.
Пример №407.
Решить уравнение

Решение:
Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно . Приведя его к стандартному виду, получим

Чтобы уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был неотрицателен:

Тогда
Ответ:
.
Пример 2 . При каких значениях уравнение
имеет решения?
Решение:
ОДЗ:. Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно параметра
. Приведём его к стандартному виду

Квадратное уравнение (на ОДЗ ) имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

Тогда, подставляя это значение
в уравнение, получим
откуда находим
Замечание. Задачу можно было также решить, рассматривая данное уравнение как квадратное относительно выражения .
Пример №408.
Найти множество значений функции

Решение:
Рассмотрим данное равенство, которое задаёт функцию, как алгебраическое уравнение относительно с параметром
. Преобразуем его к виду:

Сформулируем задачу в новой постановке: «При каких значениях уравнение (1) имеет решения?»
1) Если то, подставляя в уравнение (1), находим
.
2) Если (тогда и
), то уравнение является квадратным относительно
, и оно будет иметь решения тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

Объединяя все найденные значения , получаем:
Следовательно, множество значений функции представляет собой отрезок
Ответ:
Пример №409.
Решить уравнение

Решение:
Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно :

Необходимым и достаточным условием существования решений у этого уравнения является условие неотрицательности его дискриминанта:

Оценим значения выражения , при помощи неравенства
Тогда
и, значит,
следовательно,
Поэтому
Отсюда находим

С учётом решаемого уравнения приходим к двум случаям:

Ответ:
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны: