Оглавление:
Содержание:
- Расширение понятий предельной точки и верхнего и нижнего пределов <
- Примеры решения, формулы и задачи
Расширение понятий предельной точки и верхнего и нижнего пределов <
- Расширение предельной точки и концепции верхнего и нижнего предела. Аналогом бесконечной последовательности теоремы Больцано-Вейерштрасса является следующее утверждение: Л е м м А2. Из бесконечной последовательности можно выделить бесконечно большие подпоследовательности(особенно бесконечно большие, где
каждый элемент имеет четкий знак). Д О К а з а т е л ь с т в о. Во-первых, заметим, что если отбросить конечное число первого элемента бесконечной последовательности, то после такого разрушения снова получится бесконечная последовательность.пусть n* — любая неограниченная последовательность.
Тогда, учитывая, что элементы этой последовательности имеют Xk и удовлетворяют Людмила Фирмаль
неравенству|Xk, а последовательность{XP}, рассматриваемая из 1•числа^1+1, также неограниченна, если мы продолжим обсуждение этих элементов этой последовательности, для любого числа n мы можем удовлетворить неравенству kp>KP-1.100Chapter3|Xk|n вы можете видеть, что существует XK. Теория пределов Понятно, что построенная нами подпоследовательность*, x, Xk,,,•••>XCP,•••бесконечно велика. Когда мы замечаем, что эта подпоследовательность содержит бесконечно много членов, явно
положительных или отрицательных, доказывается бесконечно большая Лемма с определенным знаком для всех элементов. * Конечный или равный+ОО или-ОО. Следующие утверждения взяты из леммы 2 и теоремы Больцано-Вейерштрасса: Л е м м А3. Из совершенно произвольной последовательности можно выделить сходящиеся подпоследовательности или бесконечно большие подпоследовательности, все из которых имеют постоянный знак. Лемма 3, конечно, приводит к идее расширения понятия точки разрыва последовательности. Согласитесь формально
- компенсировать конечные предельные точки в приведенной выше последовательности еще двумя возможными ограничениями+OO и—OO. +OO [- OO] — это точка разрыва последовательности{CP}, которая может отличать бесконечно большие подпоследовательности от этой последовательности и говорить, что все ее элементы положительны[отрицательны]. При таком расширении понятия точки разрыва Лемма 3 означает следующее предложение: совершенно произвольная последовательность ‘ имеет по крайней мере одну предельную точку*. Естественно, предполагая, что+OO и—OO связаны с любым конечным числом x отношением — ^ — OO0 мы
получим неравное значение из этой последовательности. * Заметим, что XO^M для всех элементов последовательности(XB)удовлетворяет неравенству XP^.Кроме того, обратите внимание, что поскольку XO является точкой разрыва, существует бесконечное число элементов x n в массиве{XB}, удовлетворяющих неравенству x0-e^x b^A1. ** Любые два элемента являются различными элементами множества{x}. Назначенные подпоследовательности ограничены и имеют максимальные вершины, которые максимизируются теоремой 3.16′(т. е. верхняя граница) ‘ и всей последовательностью{CP}.
Доказано наличие полностью произвольного массива верхнего предела. Точно так же было доказано, что совершенно произвольная Людмила Фирмаль
последовательность имеет нижнюю границу. В заключение следует отметить, что почти все понятия и описания, установленные в этом и предыдущем абзаце, основаны на случае р О О и z числового множества{x}с бесконечным числом элементов. Точка A бесконечной прямой (—XY,+OO) называется точкой такого множества, если на любом пересечении точек a имеется бесконечно много элементов этого множества. Максимальные и минимальные пределы множества (x) называются EP x n it и n ij n it P R e d e l l N s m и t o h K a m и в этом множестве соответственно. Повторяя рассуждения теоремы 3.16 с заменой термина «последовательность{XP}» и «множество{x}содержит бесконечное число элементов», получаем следующее утверждение:
Следующее обобщение теоремы Больцано-Вейерштрасса следует из этого утверждения: *как и в случае последовательностей, полезно, если вы расширите понятие предельной точки и предположите, что+OO [- OO]является точкой множества{x}, где элемент этого множества равен 102 главе 3. Теория пределов Вы можете различать бесконечные столбцы, состоящие из положительных [отрицательных] чисел. С этой формулировкой для численного множества { % } С Б Е С К о н е ч н О В и слоем существует по крайней мере один предел и верхний и нижний пределы.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
