Оглавление:
Распространение малых возмущений в идеальном газе. Скорость звука
- Рассмотрим движение газа (сжимаемой жидкости) параллельно оси Ox. Это движение газа называется одномерным. Для одномерного движения vf = vz = 0; v = v (x, t) и уравнение (45) для баротропного процесса принимают следующий вид: (54) P = f (p). Предположим, у вас есть стационарный газ с параметром t> = 0 = 0; p = p0; P = Po. Где p0 и p0 постоянные значения. В первый момент в газе возникает такое небольшое возмущение, дальнейшее движение газа происходит параллельно оси Ox, и все величины, характеризующие движущийся газ, зависят только от координаты x и времени t.
В любой точке скорости, давления и плотности вы можете: v = v (x, t); p = p0 + p (x, t); p = p0 + p (x, t), где p ; p небольшое возмущение скорости, давления, плотности это. Предполагая, что производные малых возмущений также малы, линеаризуют систему уравнений (54) и отбрасывают малые члены второго порядка и выше. Производные в этом случае включают следующее: Далее. Вводя обозначение = эта константа Когда производная dp dp по p разлагается в степенной ряд, ^ = f ^ dp dp ( Это действительно положительно, потому что увеличение давления увеличивает плотность, а уменьшение давления уменьшается в баротропном процессе.
Для рассмотрения малых колебаний следует дать определение устойчивости положения равновесия системы и установить условия, при выполнении которых положение равновесия является устойчивым. Людмила Фирмаль
После этого (54) откажитесь от небольшого количества вторичного и высшего, + p = ° Система уравнений (линейная) получена для возмущений с малой скоростью и плотностью (t> и p ). Линеаризация уравнения p = f (p) дает уравнение для возмущения давления p = aoP . Дифференцируя первое уравнение (55) системы по r, дифференцируя второе уравнение по x и вычитая второе уравнение из первого уравнения, умноженного на po, d2v 2d2v Такое же уравнение можно получить для p таким же образом (56) сердце 5 В дт1 Возмущение давления p удовлетворяет тому же явлению. Уравнение (56) называется волновым уравнением.
Если движение газа не параллельно оси Ox, после линеаризации уравнения (45), p (56 ) уравнение Если так Использование a0 > и конечное значение производной выходит за рамки пения Лапласа. Волновое уравнение и уравнение Лапласа являются двумя из трех основных уравнений математической физики. Они предоставляют математическое описание многих физических процессов. Волновое уравнение (56) решается либо методом разделения переменных (метод Фурье), либо решением Даламбера для v в виде (41) + .
Где новые переменные Ijj и lj2 связаны с x и i следующими зависимостями: ^ = x aot; 52 = x + x0 , а a 2 произвольные функции, которые должны определяться начальными и граничными условиями. С помощью прямой проверки вы можете убедиться, что решение (57) преобразует уравнение (56) в тождество, то есть решение этого уравнения. Рассмотрим функции (M и f, CU) по отдельности. То есть сначала обратите внимание на начальное возмущение v o, соответствующее x, если a, = Ji (4i) первый момент = 0 (рис. 177).
- Если x = 0 и, следовательно, 10 = Xp, то r и x не изменяются при изменении e, тогда p = oo. Кроме того, , = x aot = xo и остается постоянным. Отсюда получаем x = xo + aot, т.е. возмущение v o смещается на расстояние aot в положительном направлении оси Ox в течение времени i, скорость этого смещения постоянна и равна a0 Следовательно, a0 скорость распространения возмущения с малой скоростью, и, следовательно, скорость распространения всех других малых возмущений в стационарном газе.
Интервал между временем t без изменения формы 0 ^ x ^ xo Начальное возмущение скорости при смещается на расстояние аот в положительном направлении оси Ох. Следовательно, v = i (lj ) волна, распространяющая газ со скоростью a в положительном направлении оси Ox. Следовательно, v = f2 ( 2) это волна, которая распространяется с той же скоростью a0, но в этом случае она распространяется в отрицательном направлении оси Ox, потому что 2 = x + q0 . Малая скорость распространения возмущения a0 называется скоростью звука стационарного газа. В движущемся газе скорость звука называется величиной a = ^ dp dp.
Так как механическая система, состоящая из точки переменной массы и отделившихся от нее частиц, свободна от действия внешних сил, то ее количество движения является постоянной величиной. Людмила Фирмаль
Как правило, это переменная и зависит от координат точки в пространстве и времени. Как показывают более подробные исследования, небольшие возмущения распространяются со скоростью звука. Окончательное нарушение е. Распространяется быстрее, чем скорость звука, в зависимости от величины возмущения. Такие препятствия обычно называют ударными волнами. Если жидкость, через которую распространяется звук, не может быть сжата, то есть p = const, dp = O и a = oo. В 1687 году И. Ньютон считал, что распространение звука является изотермическим процессом. То есть, когда распространяется звук, абсолютная температура T = const.
Далее из уравнения состояния Клапейрона р = LTr = ср Где постоянная с = RT. В этом случае Of = dp dp = c = p p; Ne = y pip. Эксперименты показали, что наблюдаемая скорость звука больше, чем полученная с помощью уравнения Ньютона. П. Лаплас в 1810 г. предположил, что распространение звука в газе является адиабатическим процессом, то есть давление и плотность связаны адиабатическим уравнением: = C1RI; c = const; v. = cp cv. В этом случае И за скорость звука = ^ V дп VP Формула Лапласа для скорости звука дает значения, которые хорошо согласуются с экспериментальными данными.
Поэтому распространение звука и других малых возмущений является адиабатическим процессом. Следовательно, из уравнения Клапейрона plp = RT , Другими словами, скорость звука зависит только от абсолютной температуры и типа газа. Для воздуха скорость звука составляет м с: = 20,1 г т Г = 273К (Г = О ° С) = 332 м с. Скорость звука тесно связана со средней длиной свободного пробега молекулы и ax0,1vs. Движение газа со скоростью v 1. Интересная особенность распространения малых возмущений в сверхзвуковых движущихся газах.
В какой то момент, если небольшое возмущение газа генерируется в момент (= 0, t является точкой газа в любое другое время Сдвиги при возникновении помех Рис. 178 Когда расстояние vt достигается с движущимся газом, возмущение газа распространяется на радиусную сферу. Таким образом, все возмущения локализуются в конусе с вершинами в точке, где генерируется первое возмущение. Половинный угол конуса а (рис. 178) Если M = 1, то величина sina = l и a = mc 2. Как и M > oo, угол a > 0, то есть все возмущение локализовано в области, которая сжимается до прямого отрезка.
Смотрите также:
Задачи по теоретической механике
