Распределение скоростей точек плоской фигуры

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Принимая мгновенный центр скоростей фигуры за полюс и имея в виду, что скорость этой точки в рассматриваемый момент равна нулю, легко найти скорости всех остальных точек фигуры в этот же момент времени:

Следовательно, скорость любой точки плоской фигуры равна скорости этой точки вокруг мгновенного центра скоростей фигуры.

Исходя из этого, легко найти модуль и направление скорости каждой точки фигуры (если положение мгновенного центра и угловая скорость фигуры, не зависящая от выбора полюса, для данного момента времени известны):

Деля почленно обе части последних равенств, находим

Модули скоростей раз личных точек фигуры в каждый момент пропорциональны расстояниям этих точек от соответствующего данному моменту мгновенного центра скоростей фигуры. Направлены же скорости различных точек фигуры, перпендикулярно к отрезкам, соединяющим соответствующие точки с мгновенным центром скоростей, в сторону вращения фигуры (рис. 151).

Таким образом, скорости различных точек плоской фигуры в любой момент времени распределяются так, как если бы фигура вращалась в этот момент времени вокруг мгновенного центра скоростей, занимающего в разные моменты различные положения как относительно движущейся фигуры, так и относительно неподвижной плоскости, в которой движется фигура.

При плоском движении тела скорости его точек в каждый данный момент времени распределяются так, как будто бы тело вращается в этот момент вокруг некоторой, так называемой мгновенной оси вращения, проходящей через соответствующий данному моменту мгновенный центр скоростей фигуры и перпендикулярной к ее плоскости. Это следует из того, что при плоском движении тела все его точки, лежащие на одном пер-пендик>ляре к неподвижной плоскости, движутся одинаково. Поэтому все точки тела, лежащие на мгновенной оси вращения, т.е. на прямой, проходящей через мгновенный аенгр скоростей фигуры и перпендикулярной к ее плоскости, будут в данный момент иметь скорость, равную нулю, а все точки тела, лежащие на перпендикуляре к плоскости фигуры, восставленном в какой-либо другой ее точке, будут иметь такие же скорости, как соответствующая точка фигуры.

Каждому моменту времени соответствует свое положение мгновенного центра скоростей и свое положение мгновенной осп. На это обстоятельство и указывают сами их названия: «мгновенный» центр и «мгновенная» ось.

Заметим, что нельзя полностью отождествлять вращение тела вокруг мгновенной оси в данный момент с вращением тела вокруг неподвижной оси. В последнем случае скорости всех точек тела, лежащих на оси, равны нулю все время движения тела и потому их ускорения равны нулю. Точки же тела, совпадающие в данный момент времени с мгновенной осью вращения, имеют скорости, равные нулю только в этот момент, и движутся с ускорением.

Можно доказать, что при непоступательном движении плоской фигуры в се плоскости всегда есть такая, неизменно связанная с фигурой, точка, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Ускорения различных точек плоской фигуры в каждый момент распределяются так, как если бы фигура вращалась в этот момент вокруг этой точки, называемой мгновенным центром ускорений.

Но положения мгновенного центра скоростей и мгновенного центра ускорений не совпадают. Так, например, при равномерном качении колеса по неподвижному прямолинейному рельсу мгновенный центр ускорений колеса лежит в центре колеса — точке (рис. 154). Эта точка

движется прямолинейно и равномерно со скоростью и ее ускорение равно нулю. Мгновенный же центр скоростей колеса лежит, как известно, в точке касания колеса с рельсом. Его скорость в данный момент равна нулю, ускорение же этой точки равно ее нормальному ускорению во вращательном движении вокруг точки .

Положение центра ускорений совпадает с положенном центра скоростей лишь при вращении тела вокруг неподвижной оси.

Пример задачи:

Цилиндр, лежащий на горизонтальной плоскости, обмотан веревкой, один конец которой прикреплен к цилиндру, а другой свободен. Найти угловую скорость цилиндра, скорость его центр и скорость концов и вертикального и горизонтального диаметров перпендикулярного сечения цилиндра. Свободный конец веревки тянут параллельно плоскости и перпендикулярно к оси цилиндра с постоянной скоростью (рис. 155). Цилиндр катится без скольжения. Радиус цилиндра равен .

Решение:

Проведем через веревку плоскость, перпендикулярную к оси цилиндра. В сечении получится круг, катящийся по горизонтальной прямой. Так как этот круг катится без скольжения, го скорость точки и в которой он касается прямой, равна нулю, следовательно, эта точка является мгновенным центром скоростей круга. Скорость точки круга, в которой его касается свободный конец веревки, равна скорости , с которой тянут веревку. Зная положение мгновенного центра скоростей круга и скорость его одной точки , находим угловую скорость цилиндра и скорости точек и :

Направления векторов и показаны на рис. 158.

Пример задачи:

Определить скорость ползуна и средней точки шатуна кривошипно-шатунного механизма (рис. 156. о) в момент, когда кривошип составляет с линией движения ползуна угол . Вычислить, в частности, скорости этих точек для двух положений механизма, когда и , полагая . Угловая скорость кривошипа постоянна и равна . Направление его вращения показано на рисунки.

Решение:

Направления скоростей двух точек и шатуна нам всегда известны. Точка есть точка шатуна , общая с кривошипом . Но кривошип совершает вращательное движение, и потому его точка движется по окружности радиуса и, следовательно, скорость этой точки перпендикулярна к радиусу .

Точка есть точка шатуна, общая с ползуном . Но ползун может двигаться только поступательно вдоль своих направляющих и, следовательно, скорость точки направлена по линии движения ползуна. Зная же для данного момента направления скоростей двух точек шатуна, легко найти и положение его мгновенного центра скоростей. Эта точка лежит на пересечении перпендикуляров, воспаленных в двух точках и шатуна к направлением скоростей vrnx точек (рис. 156, а). Угловая скорость шатуна равна

модуль скорости точки шатуна

Модуль скорости ползуна (точки шатуна)

Направлены скорости этих точек перпендикулярно соответственно к отрезкам и в сторону вращения шатуна (так, как изображено на рис. 156, а). Величину скорости точки легко вычислить по формуле

Зная для данного момента угол , всегда можно найти и длины и или вычислением (решая соответствующие треугольники), или графически (строя схему механизма в масштабе, по заданным размерам его звеньев и углу ).

Решим теперь ту же задачу для частных случаев, когда и . Расположение звеньев механизма и направление скорости

точки при угле поворота кривошипа показано на рис. 156,6. Скорость точки во всех случаях может быть направлена лишь по линии движения ползуна. Мгновенным центром шатуна будет точка , так как в ней в данном случае пересекаются перпендикуляры, восставленные в точках и к скоростям этих точек. Так как точка совпадает в данный момент с мгновенным центром, то скорость этой точки (скорость ползуна) равна нулю (механизм находится в «мертвом» положении). Угловая скорость шатуна

Скорость точки шатуна

Расположение механизма и направленна скоростей и при угле поворота кривошипа показано на рис. 156, е. Так как скорости и параллельны и точки и не лежат на одном перпендикуляре к направлениям этих скоростей, то в данный момент мгновенный центр скоростей шатуна лежит в бесконечности, его угловая скорость

и он совершает мгновенное поступательное движение. Следовательно, в данный момент

Пример задачи:

Две параллельные рейки движутся в разные стороны с постоянными скоростями и (рис. 157). Между рейками зажат диск радиусом , катящийся по рейкам без скольжения. Найти угловую скорость диска и скорость его центра , если .

Решение:

Так как диск катится по рейкам без скольжения, то скорость его точки , в которой диск соприкасается с верхней рейкой, равна скорости этой рейки . На том же основании скорость точки диска равна скорости нижней рейки . Так как скорости двух точек и диска параллельны, а сами точки лежат на одном перпендикуляре к скоростям этих точек, то мгновенный центр скоростей диска определится из пропорции:

С другой стороны,

Решая эти два уравнения совместно, находим

Угловая скорость диска

Расстояние центра диска от мгновенного центра скоростей

Скорость центра диска

Пример задачи:

Кривошип (рис. 158), вращаясь с угловой скоростью paд/сек вокруг оси неподвижного колеса радиуса , приводит во вращение свободно насаженное на его конце колесо 2 радиуса . Определить угловую скорость колеса 2.

Решение:

Сателлит, катясь без скольжения по неподвижному колесу 1, совершает плоское движение. Положение мгновенного центра скоростей сателлита известно. Он лежит в точке касания колеса. Следовательно, для определения угловой скорости сателлита достаточно знать скорость какой-либо одной его точки. Пользуясь тем, что точка принадлежит не только сателлиту, но и кривошипу . найдем ее скорость:

Понятие об определении ускорений точек плоской фигуры

Как мы уже знаем. всякое движение плоский фигуры в ее плоскости можно разложить на два движения: 1) переносное поступательное движение вместе с произвольно выбранной точкой фигуры (полюсом) и относительное вращательное движение фигуры вокруг полюса.

Выберем за полюс какую-либо точку фигуры (рис. 159).

По теореме о сложении ускорений точки при переносном поступательном движении абсолютное ускорение любой точки фигуры будет равно геометрической сумме ускорения полюса (переносного ускорения) и ускорения данной точки.

В во вращательном движении этой точки вокруг полюса (относительного ускорения):

Относительное же ускорение точки во вращательном движении вокруг полюса , в свою очередь, удобно представить как геометрическую сумму двух ускорений: тангенциального ускорения и нормального ускорения :

Отсюда получаем следующее выражение для ускорения точки фигуры:

Модуль относительного тангенциального ускорения точки

направлен же вектор перпендикулярно к радиусу в сторону вращения фигуры (см. рис. 159) при ускоренном вращении и в противоположную сторону при замедленном.

Модуль относительного нормального ускорения точки

направлен сектор всегда к полюсу, т. е. от к .

На рис. 159 показаны вектор относительного ускорения точки , изображаемый диагональю параллелограмма, построенного на векторах и , и вектор абсолютного ускорения этой точки, изображаемый диагональю параллелограмма, построенного на векторах и .

Пример задачи:

Найти угловую скорость и угловое ускорение нецентрального кривошипно-шатунного механизма (рис. 160. а), а также ускорение ползуна в тот момент, когда кривошип и шатун взаимно перпендикулярны и образуют с горизонтальной осью угол

Длина кривошипа

Длина шатуна

Кривошип вращается равномерно с угловой скоростью

Решение:

Шатун совершает плоское движение. Скорость его точки (центра шарнира, соединяющего шатун с кривошипом ) направлена перпендикулярно к радиусу в сторону вращения кривошипа и равна по модулю

Скорость точки шатуна (центра шарнира, соединяющего шатун с ползуном ) направлена по линии движения ползуна.

Мгновенный центр скоростей шатуна лежит на пересечении линий проведенных из точек и перпендикулярно к скоростям этих точек. В заданном положении механизма, как это ясно из рис. 160.

Следовательно, угловая скорость шатуна

Для определения ускорении ползуна (точки шатуна) примем за полюс точку шатуна.

Так как кривошип вращается с постоянной угловой скоростью тангенциальное ускорение его точки

Следовательно, полное ускорение точки равно по модулю

Направлен же вектор по радиусу от к центру .

Но формуле (103) ускорения точка шатуна

Модуль нормального ускорения точки к полюсу . Тангенциальное ускорение точки во вращательном движении вокруг полюса должно быть направленно перпендикулярно к .

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Теорема о проекциях скоростей двух точек фигуры + пример с решением

Мгновенный центр скоростей фигуры

Предмет динамики и две ее основные задач

Основные законы динамики