Оглавление:
Решение многих задач с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах, требует умения правильно формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие различным случаям расположения корней квадратного трехчлена на числовой оси.
Пусть квадратный трехчлен 
имеет корни 
и 
, 
абсцисса вершины параболы 
и 
— заданные числа.
Справедливы следующие утверждения, связанные с расположением точек и на числовой оси.
1°. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше 
необходимо и достаточно выполнение условий
где 
— значение квадратного трехчлена при 
(рис. 21.6 и 21.7).
В частности, 
тогда и только тогда, когда выполняются условия
2°. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше 
необходимо и достаточно выполнение условий
(рис.21.8 и 21.9).
В частности, 
тогда и только тогда, когда выполняются условия
3°. Для того чтобы число 
было расположено между корнями квадратного трехчлена 
необходимо и достаточно выполнение условия
(рис. 21.10 и 21.11).
4°. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена лежали в интервале 
т.е. 
необходимо и достаточно выполнение условий
(рис. 21.12 и 21.13).
Заметим, что в условиях (6) последние два неравенства можно заменить одним неравенством
5°. Для того чтобы отрезок 
лежал в интервале 
необходимо и достаточно выполнение условий
(рис. 21.14 и 21.15).
Ограничимся доказательством утверждения 1°. Квадратный трехчлен 
имеет действительные корни и тогда и только тогда, когда
Эти корни удовлетворяют условиям 
тогда и только тогда, когда
Неравенства (9) выполняются в том и только в том случае, когда, наряду с условием (8), справедливы неравенства
Используя формулы Виета
получим систему неравенств
в которой второе неравенство равносильно неравенству 
Итак, корни и квадратного трехчлена 
удовлетворяют условиям 
тогда и только тогда, когда коэффициенты 
удовлетворяют системе неравенств (1).
Аналогично доказываются утверждения 2°-5°, связанные с расположением корней квадратного трехчлена.
Примеры с решениями
Пример №262.
Найти все значения 
, при которых корни уравнения
положительны.
Решение:
Корни квадратного уравнения 
положительны тогда и только тогда, когда выполняются условия (4). Для уравнения (11) при 
эти условия записываются в виде:
Первые два неравенства системы (12) равносильны соответственно неравенствам
Первое из неравенств (13) справедливо при 
(рис. 21.16),
второе — при 
а также при 
Решениями третьего неравенства системы (12) являются значения такие, что 
или 
Таким образом, множество решений системы (12) — объединение промежутков 
и 
Если 
, то уравнение (11) примет вид 
, откуда 
, т.е. корень уравнения (11) при положителен.
Ответ. 
Пример №263.
Найти все значения 
, при которых квадратный трехчлен 
имеет действительные корни и такие, что 
Решение:
В силу утверждения 4°, искомые значения являются решениями системы неравенств (6), которая в данном случае имеет вид
Эта система равносильна каждой из следующих систем:
Так как 
, то в результате получаем 
Ответ.
Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
| Квадратный трехчлен и квадратные неравенства с примерами решения |
| Примеры решения рациональных неравенств |
| Иррациональные неравенства с примерами решения |
| Показательные неравенства с примерами решения |
