Раскрытие неопределенности вида 0/0

Раскрытие неопределенности вида 0/0

• Раскрытие неопределенности в виде говорит о том, что это когда x — >a Отчет — ■О деле Соотношение двух функций » ~u n e o p R d e l n o s t u VI d a Игла / (h)=PT§(h)=0. х — +а Чтобы выявить эту неопределенность, нужно вычислить предел PT (предполагая, что этот предел существует). х^е(х ) Аналогичным образом вводится понятие неопределенности формы-x — >a+0[x — >a-0], x — ^-OO и x->+OO[x-e-OO].. Следующая теорема дает правило раскрытия неопределенности 0 Для предела вида-точка А. Установите C6 в проколотую 8 окрестность

точки*, и функции} (x) и§(x) могут быть определены и дифференцированы на C>, а также дифференциал§ ‘ (x) не аннигилирует на SB. Давай, следующий., * Гийом Франсуа де л’опиталь, французский математик (1661-1704). ** Напомним, что проколотая 6 окрестность точки А — это интервал(а-6, а+6) точки А, выведенный (при условии, конечно, что 6>0). NT1(x)==PT§(x)=0. (6-17)) ч * А * ч Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел N t -^ -, (6.18) Тогда есть ограничения Пт ДШ -, (6.19) икс -.

Но Кроме того, отношение действительно D NT=it(6.20) §(x) * Oh — §(I) 236 Глава 6. Людмила Фирмаль

Основная теорема о дифференцируемых функциях Теорема 6.9 дает форму o правила раскрытия неопределенности — Отношение двух функций для вычисления пределов по отношению к этой точке, полученное из этих функций, уменьшающих вычисление пределов в точке А. D o K a z a t e l s T V o. сходим {Xn}к a и делаем его произвольной последовательностью значений аргументов, состоящей из чисел, отличных от a. определим функции/(x) и§

(x) в точке a и сравним эту точку с нулем. В таком определении функции/(x) и y'(x) дополняются точками A, то есть всюду в окрестности B точки a, смежной всюду в множестве SB. Фактически, непрерывность во всех точках/(x) и§(x) окрестности b точки a вытекают из их Дифференцируемости в этих точках, за исключением самой точки a, и непрерывность и расстояние между точками a и B одинаковы. Учитывая, что все элементы последовательности{XL}принадлежат множеству SC, рассмотрим произвольные отрезки,

• заключенные точками a и CP. Благодаря вышесказанному обе функции/(x) и§(x) будут непрерывными на таких отрезках. Кроме того, функции/(x) и§(x) дифференцируемы во всех внутренних точках указанного отрезка, производная§ ‘ (x) не исчезает в этих внутренних точках. Это дает право применить теорему Коши 6.8 к функциям/(x) и§(x) на указанном отрезке, заключенном в точках a и xn. Благодаря этой теореме между точкой a и точкой CP существует эквивалент [(CP) — Ka)(621) 8 (л. с.) — §(а) Учитывая, что формула равенства [(a)=§(a)=0 верна по определению функций/(x) и^(x), можно переписать

соотношение (6.21) следующим образом NH p) / S LG>\ e (лошадиная сила) нет.) * { } В соотношении (6.22) n стремится к бесконечности, затем HL-> — a.это связано с тем, что |n связано между A и CP, тогда p->OO. Из-за наличия предела (6.18) и определения предела функции Хейна правая часть (6.22) имеет предел (6.18) в/g — *OO. Такое же ограничение в N — >OO означает, что он также имеет левую часть (6.22). Из-за произвольности последовательности значений аргументов{CP}сходятся к A, а из-за определения пределов

функции Гейне, — §6. Раскрытие информации о неопределенности 237 Наличие Людмила Фирмаль

в левой части (6.18) предела (6.18), равного n^OO, означает, что предел функции (6.19) также равен (6.18). Итак, на пределе (6.22) n->-OO мы получаем отношение (6.20). Теорема доказана. З а м е ч а н и Е1. Правило Лопиталя не обязательно «работает» пределы отношения функции(6.19) могут существовать при отсутствии пределов производного отношения (6.18). Например, если a=0,/(x)=x2POPs -, = 51P x существует 2 1 Х2 соз — X X1 Это ограничивает—и т———-= и t— — — — — — — и thsoz — =0, то Xcha8 (х)xcho8SH xcho81P Х Х Х Х Х-М Х1 1 2х поп — — — — +81P—- Поскольку время ограничивает его=N t——— ———- — его не

существует. В§ ‘ (Х)xcho поп х (В связи с тем, что предел 1P t-I P1-отсутствует, а предел x — » 0x N t[2xco8—) существует и равен нулю). * — *о\Х) З а м е ч а н и Е2. Добавляя к условию теоремы 6.9 требование непрерывности производных точки a/'(x) и^'(x), соотношение между условием e'(a)=и=0 (6.20) можно переписать следующим образом … }(х)/'(а)§(х)§(а ) З а м е ч а н и Е3. Если производные (x) и (x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции/(x) и y'(x), то правило Лопиталя может применяться многократно. Так мы и

сделали … D х) г(х).. Г'(ч ) И T1’=и T1. Данные-А Е (Х)данные в’ (Х)данны姻(х ) П р и М е р ы одна) N Т ДГ- * о 1-поп х Н т 5Ш Х Два. Икс Два. * 2) следующие пределы рассчитываются путем применения правила Лопиталя дважды: Н т ч ы X-8SH X НЗ х — >0 1-поп х Zx2 = НОВЫЙ ЗАВЕТ х — >0 81P X §Икс Один. Шесть. Х 238CH. 6. Основная теорема о дифференцируемых функциях 3) предел рассчитывается путем применения правила Лопиталя три раза п т т——————-= и т—————- = и Т h»o H2+2soz-2h — > — o2h-2 81ph h — >0 12ha2-2 х поп =11•1Т—2-4-х— — =1, Р2. X — 0 2 81P X Рассмотрена задача выявления

неопределенности формы-y-для случая предела точки a.as ну и предел X — > — OO [- Sy], точно такой же результат в случае правой [левой]точки a Теперь мы знаем, что теорема 6.9 справедлива в каждом из следующих Tr E x s l y h A EV: 1) в этой теореме возьмем c»в интервале (a, a+6) [соответственно (a-6, a)] 6.20) x — >oo; 3) в теореме 6.9 a полупрямой (6,+OO) [затем (O-6, затем-OO, затем-6)]) и все пределы (6.17)-(6.20) X — >+Oo[x-e-Xu, соответственно]. С Л У ч ay1. В этом случае вся схема доказательства теоремы 6.9 останется действительной вместо последовательности, а{x»}сойдется к a,

состоящему из числа XP, и точке интервала (a, a+6), кроме a. С Л У ч ай2. Определите функции/(x) и§(x), чтобы иметь возможность дифференцировать в любом месте за пределами сегмента[-6,6]для некоторого b>0, производная§ ‘ (x) является методом вне указанного сегмента, кроме того, существует предел И Т Х — » 00 ГЕНЕТИЧЕСКИ МОДИФИЦИРОВАННЫЙ Это… (6.18’)) Заменим переменную I-и заменим=e (x),^(0=/G-M=N x)-тогда, очевидно, функция и 0(1) будут определены и дифференцируемы с помощью проколо-§6. Раскрытие информации о неопределенности 239 — Y-окрестности точек/=0и производных о'(0=е'(- г) (—~)= & Он не исчезает в конкретном

перфорированном резисторе. Кроме того, из-за наличия предела (6.18′), существует предел 1—R'(0 1- 11SCH — = 11GP /->о о о'(о Г(H ) (6.23) Но есть предел благодаря теореме 6.9 N Т — ^ — = НТ = НТ(6.24) * — >Около 0 (1) м **” Кроме того, соотношение (6.20) принимает вид (6.23) и (6.24 .. Д х)Д'(О1-г(ч>ч-ку) (ч)л+о,С (0 4- » 0С ‘о)ч><ч V'(ч) Случай 2 завершен. С Л У ч ay3. В этом случае применяется та же замена 1= — , Икс Однако, как и в случае 2, на этот раз такая замена невозможна, учитывая пределы x — >+OO[x-e-OO]、/->0+0 [/—>0-0], рассматривается в случае 1. Подробности аргументации предоставлены читателю. Икс Шесть. П р

и М Е Р С 1) вычислить N t———- (для кого? ч- » о+o1P(1+ч ) 6>1). Этот пример применим к случаю 1. Когда вы применяете правило Лопиталя, вы получаете 1H•t ———- х — » 0+0 1П(1+ч) НЗ х — » 0 — (- 0 сһ6-1 =NT dh6-1(1+x)=0. х — » 0+0 *Т. е.—g-в любом месте интервала, кроме точки/=0. o O2 4 0 Глава 6. Основная теорема о дифференцируемых функциях — Агус!§^1 2) Расчет P t————— u — — — — — — — (этот пример из- H — >0°I P —— Икс Случай 2). Применяя правило Лопиталя, мы получаем Н т Один. 81P—— Икс =Н т 1 Два.

Смотрите также:

Методическое пособие по математическому анализу

Свойства интеграла	Раскрытие неопределенности вида 0/0
Краткие сведения о корнях алгебраических многочленов	Арифметические операции над непрерывными функциями.