Раскрытие неопределенности вида ∞/∞.

Раскрытие неопределенности вида ∞/∞.

• Раскрытие неопределенности формы — — — -. Например ООО Отношение между двумя функциями, определенными в окрестности точек a / (x)и§(x), является неопределенностью вида в x — +a ООО Если Н т/(х)=о о н т(х)=ОО. (6.25 )) х — +х-+а Для раскрытия этой неопределенности, а именно предела N t для вычисления 1-KX, справедливо утверждение,

полностью аналогичное теореме 6.9. Т Е О Р Е М А6. 9(V t o R o E p R a V L o L o p I T a l I). Установите C в проколотую B окрестность точки a, функции C x) и§{x) определены и дифференцируемы в C6, и, кроме того, производная§ ‘ (x) не аннигилирует на XY. * Следующий, *

Вместо OO (6.25) может стоять на+OO или—OO. N t/(x)=OO, N t/,(x)=OO. (6.17)*) х~+а Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел Людмила Фирмаль

Тогда есть ограничения Н т , х~ * А Е(Х) (6.18 Е.) Н т , х — >а§(х ) (6.19)§6. Раскрытие информации о неопределенности 241 И соотношение игл=КТ справедливо. х->Е(Х)Х->е'(х) (6.20 е)) D o K a z a t e l s T V o. 1) Предположим, что существует конечный предел) (равный числу 6.18 B, в этом случае докажите, что существует предел) (где 6.19 равно числу B. Т. е. (CP) — учтите, что St N заключен между HT и CP либо во всех, либо во всех. {CP} — это любая последовательность значений

аргументов, которая сходится либо вправо, либо влево. Поскольку все элементы этой последовательности принадлежат множеству SB, какими бы ни были два элемента этой последовательности HT и CP, в случае функций|(x) и^(x), согласно всей этой теореме теоремы Коши 6.8, между XT и XP есть точка^t n, где уравнение истинно. Один. /(ХТ ) Ч п)-тхт) 1(л. с.)__} (л. с.) ІТ(?ТП) 8 (л. с.) — е (ХТ) [е(л. с.) 1_ _ §'(б)) е(х п) Исходя из этого равенства, мы Один. /(HP)_ / (VTL) _ _ 8 (HP) (6)) е (х,

• р)е’&ТП}1′ 1/(x») теперь мы фиксируем любое положительное число E.By условие 1I-t g (x)=B, и x->e ‘ (x)уменьшается до a, то для положительного Последовательность{xn}, вилка- Такое число T должно быть выполнено для любого условия ** Можно записать число n, которое превышает число-| — t , пи) Е'(1, ц) ы+СПП,|и Т Л1<«. (6.27) Кроме того,) (6.17 It/(x»)=для термина OO, П — >со Таким образом, число t фиксировано, поэтому существует предел, равный единице И т р — >00 e (x t) e{HP) Kh t) NH p) 242 Глава 6. Основная теорема о

дифференцируемых функциях Если это положительное число———- и I для B / +e/2 все n>I0 так, что будет отличное число PA числа t, зафиксированного нами г=1+Г Д e1½t Л1< | 6 | + 8 /2′ ( 6 2 8 ) к Ч П) Из соотношения(6.26), (6.27) и(6.28)、~~=（6+（1+ RTL)=6+(&+ATP)$TP+AGPP. е (х р) Итак, 1-г неравенство верно~ & |< (|6 | + |т^ш» / + / т,г|. е (х р) я Учитывая неравенства, которые стоят в условиях(6.27)и (6.28), вы получите его для всех n>N0 (1&1+|л|) — |√т Л1+|л/<(|6 |+ — м’g т;+ — т Н6′ \2/ / Б|+Е/2 2 Итак, в любом случае, фиксированном e>0, я нашел число с>GI для всех n>N0 е. Это означает, что оно истинно (предел) (где 6.19 равно числу B и соотношению).6.20 следовательно, в случае конечного предела доказывается теорема 6.18.

Мы считаем, что все условия теоремы 6.9выполнены для обратной зависимости. В Людмила Фирмаль

частности, производная)'(x) не аннигилирует в достаточно малом проколотом 6 соседе точки A.(Это следует из наличия равного предела Oo (6.28) и неинверсии указанного дифференцирования^(x).) 2) предел) (6.18 равен OO. Тогда, очевидно, обратное соотношение пределов PT будет равно нулю、 л->А/'(ч ) Конечный предел ( * ) для 6.18 мы только что думали. И t — ^ — =0. ч->А/(ч) * Учитывая последнее соотношение (6.17-это — Что?»(Икс) Теорема * 6.9 отлично доказана.§6. Раскрытие неопределенности 243. Аналогично теореме 6.9, теорема 6.9 * справедлива в каждом из следующих трех случаев: 1) в этой

теореме в качестве множества, подлежащего взятию, интервал(a, a+6) [соответственно (a—6, a)] и (6.20) принимают при x—>-oo; 3) множество C6, полудильное»(6,+OO), » [o-6,») и т. д.возьмите]и все пределы (6.17)-(6.20) X->+Oo[X-> — Oo, соответственно]. Обоснование справедливости теоремы 6.9можно позаимствовать из предыдущего абзаца. П р и М ЕР ы. Один.) Иш Uh1ph=11SH — = х — «0-(- 0х->0-| — 0′ Один. = ПТ- — — — — — — = -2 (т)/ч=0. x — «04-0(_d\» -3 / 2 \2 ] 2) применение N-кратного на пределе правила госпиталя рассчитаны, Золото Х> / ко Л.С.. PCP~1 —— Деньги. ——- ех-х — ^+х ех = НТ=1Р•т—п— — =0П

Смотрите также:

Методическое пособие по математическому анализу

Бесконечно малые и бесконечно большие функции	Инвариантность формы первого дифференциала
Определение дифференцируемости функции	Понятие монотонной последовательности