Оглавление:
Раскрытие модулей но определению
Если в задаче содержится модуль (как правило, один), то рассматривают два случая: когда выражение под знаком модуля больше либо равно нулю и когда оно меньше нуля. В первом случае модуль опускают (это часто называют «раскрыть модуль со знаком плюс»), а во втором — модуль заменяют скобками, перед которыми ставится знак минус (называется «раскрыть модуль со знаком минус»), В отдельных задачах бывает удобнее рассмотреть три случая: когда подмодульное выражение больше, меньше или равно нулю. Например, уравнения вида этим способом сводятся к совокупности двух систем

Аналогично можно решать неравенства вида где знак
заменяет любой из знаков неравенства.
Замечание. Раскрывать модули по определению можно и в случаях, когда их количество в задаче больше одного, но тогда, например, при решении уравнения придётся рассмотреть четыре случая:

(и в каждом случае раскрывать модули и решать уравнение), в то время как при использовании метода интервалов — всего три:
что эффективнее. Рас-смотрим соответствующие примеры.
Пример №257.
Решить уравнение
Решение:
Рассмотрим два случая:

Пример №258.
Решить неравенство

Решение:
Раскладывая левую часть неравенства на множители, имеем


Пример №259.
Решить уравнение

Решение:
ОДЗ: Рассмотрим два случая:

Ответ:
Пример №260.
Решить уравнение

Ответ:

Пример №261.
Найти все пары (х;у), удовлетворяющие условию
Решение:
1) При x = 0 неравенство верно при любом действительном у. Отсюда получаем пары чисел где
2) При x >0 имеем: откуда получаем пары чисел вида
где
3) При имеем:
т.е. получили пары
Ответ:

Пример №262.
Решить неравенство
Решение:
Здесь целесообразно вначале «отделить» параметр от переменной , и уже затем раскрывать модуль, но только над x .
1) При имеем:
Если , то решением будет
Пересекая с промежутком
получаем
Если
то решением будет
Пересекая с промежутком
получаем
Если
то неравенство примет вид
что не выполняется ни при каких x .
2) При имеем:

Пересекая с промежутком получаем, что при всех а реше-нием будет любое
Осталось объединить полученные решения.
Ответ: при при
Пример №263.
Найти сумму целых решений неравенства

Решение:
В этой задаче имеются вложенные модули. Раскроем их, начиная с внутреннего модуля. Для этого рассмотрим два случая.
1) Посколь-ку на рассматриваемом промежутке
то оставшийся модуль раскрывается со знаком «минус», и получаем
Пересекая с данным промежутком, имеем результат:
2) раскрывая внутренний модуль, получаем
. Если при этом
то имеем
пересекая с данным промежутком, получаем решения
если же
то имеем
или, с учётом промежутка,
Объединяя результаты, находим множество всех решений неравенства:
Ответ:
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны: