Расчет прямозубых цилиндрических передач на прочность
Расчет на прочность прямозубых и косозубых цилиндрических передач стандартизован ГОСТ 21354-87. В курсе «Детали машин» изучают основы такого расчета. При этом вводят некоторые упрощения, мало влияющие на результаты расчетов для большинства случаев практики.
Силы в зацеплении. На рис. 4.18 
— нормальная сила, направленная по линии зацепления как общей нормали к рабочим поверхностям зубьев.
Силы, действующие в зацеплении, принято прикладывать в полюсе зацепления. При этом силу переносят в полюс и раскладывают на окружную 
и радиальную 
. Такое разложение удобно при расчете валов и опор. По заданным 
и 
определяют
и через нее выражают все другие составляющие:
Расчет прочности зубьев по контактным напряжениям.
Исследованиями установлено, что наименьшей контактной усталостной прочностью обладает околополюсная зона рабочей поверхности зубьев, где наблюдается однопарное зацепление (см. рис. 4.6). Поэтому расчет контактных напряжений принято выполнять при контакте в полюсе зацепления (рис. 4.19). Контакт зубьев можно рассматривать как контакт двух цилиндров с радиусами 
и 
.
При этом контактные напряжения определяют по формуле:
Для прямозубых передач с учетом формул (4.4)…(4.6)
Радиусы кривизны эвольвент в точке контакта (рис. 4.19)
где 
, знак «+» — для наружного, а «-» — для внутреннего зацепления.
Подставляя в формулу (4.7) и заменяя 
, получаем
Параметр 
по ГОСТ 16532-70 называют передаточным числом и определяют как отношение большего числа зубьев к меньшему независимо от того, как передается движение: от 
к 
или от к . Это передаточное число и отличается от передаточного отношения 
, которое равно отношению угловых скоростей ведущего колеса к ведомому и которое может быть меньше или больше единицы, положительным или отрицательным. Применение 
вместо связано только с принятой формой расчетных зависимостей для контактных напряжений [см. вывод формулы (4.9), где 
выражено через 
(меньшее колесо), а не через 
(большее колесо)]. Значение контактных напряжений, так же как и значение передаточного числа и, не зависит от того, какое колесо ведущее, а значение передаточного отношения зависит. Однозначное определение и позволяет уменьшить вероятность ошибки при расчете. Передаточное число и относится только к одной паре зубчатых колес. Его не следует применять для обозначения передаточного отношения многоступенчатых редукторов, планетарных, цепных, ременных и других передач. Там справедливо только обозначение .
Значения расчетных контактных напряжений одинаковы для шестерни и колеса. Поэтому расчет выполняют для того из колес пары, у которого меньше допускаемое напряжение 
— см. ниже (чаще это бывает колесо, а не шестерня).
Формулу (4.10) используют для проверочного расчета, когда все необходимые размеры и другие параметры передачи известны. При проектном расчете необходимо определить размеры передачи по заданным основным характеристикам: крутящему моменту 
или 
и передаточному числу .
С этой целью формулу (4.10) решают относительно или 
. Другие неизвестные параметры оценивают приближенно или выбирают по рекомендациям на основе накопленного опыта. В нашем случае принимаем
(этот коэффициент зависит от окружной скорости 
, которая пока неизвестна, поэтому принято некоторое среднее значение — см. табл. 4.3). При этом из составляющих коэффициента 
[см. формулу (4.4)] остается только 
/ Далее обозначаем 
— коэффициент ширины шестерни относительно диаметра.
Подставляя в формулу (4.10) и решая относительно , находим
Решая относительно межосевого расстояния а, заменяем
и вводим
коэффициент ширины колеса относительно межосевого расстояния.
После преобразования с учетом зависимости
получим
При расчетах передач с цилиндрическими зубчатыми колесами чаще используют формулу (4.13), так как габариты передачи определяет преимущественно межосевое расстояние. По тем же соображениям в формуле (4.13) момент заменяют на — Значение момента на ведомом валу является одной из основных характеристик передачи, интересующих потребителя (обычно указано в техническом задании).
В приложении к ГОСТ 21354-87 для стальных зубчатых колес формулы (4.11) и (4.13) записаны в виде:
где 
и 
— вспомогательные коэффициенты, полученные в результате выноса числового значения 
из-под знака радикала, в формулах разные единицы одинаковых физических величин: 
— в Н м , 
и 
— в мм, 
— в МПа.
Для стальных прямозубых колес
для косозубых
Расчет прочности зубьев но напряжениям изгиба. Зуб имеет сложное напряженное состояние (см. рис. 4.10). Наибольшие напряжения изгиба образуются у корня зуба в зоне перехода эвольвенты в галтель. Здесь же наблюдается концентрация напряжений. Для того чтобы по возможности просто получить основные расчетные зависимости и уяснить влияние основных параметров на прочность зубьев, рассмотрим вначале приближенный расчет, а затем введем поправки в виде соответствующих коэффициентов. Допустим следующее (рис. 4.20):
Вся нагрузка зацепления передается одной парой зубьев и приложена к вершине зуба. Практика подтверждает, что этот худший случай справедлив для 7-й, 8-й й более низких степеней точности, ошибки изготовления которых не могут гарантировать наличие двух-парного зацепления. Например (см. рис. 4.17), ошибки шага приводят к тому, что зубья начинают зацепляться вершинами еще до выхода на линию зацепления. При этом вместо теоретического двухпарного зацепления будет однопарное.
- Зуб рассматриваем как консольную балку, для которой справедливы гипотеза плоских сечений или методы сопротивления материалов. Фактически зуб подобен выступу, у которого размеры поперечного сечения соизмеримы с размерами высоты. Точный расчет напряжений в таких элементах выполняют методами теории упругости [8]. Результаты точного расчета используют для исправления приближенного расчета путем введения теоретического коэффициента концентрации напряжений.
Силу 
переносим по линии действия на ось симметрии зуба и раскладываем на составляющие 
и 
. При этом радиус приложения окружной силы будет несколько больше радиуса начальной окружности. Пренебрегая этой разностью, для расчета сил и сохраняем формулы (4.5) и (4.6). Напряжение в опасном сечении, расположенном вблизи хорды основной окружности,
где 
— момент сопротивления сечения при изгибе; 
-площадь; 
и 1 указаны на рис. 4.20.
Знак «-» в формуле указывает, что за расчетные напряжения принимают напряжения на растянутой стороне зуба, так как в большинстве случаев практики именно здесь возникают трещины усталостного разрушения (для стали растяжение опаснее сжатия).
Значения 1 и 
неудобны для расчетов. Используя геометрическое подобие зубьев различного модуля, эти величины выражают через безразмерные коэффициенты:
где 
— модуль зубьев.
После подстановки и введения расчетных коэффициентов получают
где 
— коэффициент расчетной нагрузки; 
— теоретический коэффициент концентрации напряжений. Далее обозначают
- коэффициент формы зуба (для наружных зубьев; (рис. 4.21).
Для колес с внутренними зубьями приближенно можно принимать 
=3,5…4, большие значения при меньших 
.
При этом для прямозубых передач расчетную формулу записывают в виде
где 
— допускаемое напряжение изгиба.
Для проектных расчетов по напряжениям изгиба формулу (4.19) решают относительно модуля путем замены
тогда
И далее, принимая приближенно 
= 1,5 получают
Значениями 
и 
задаются согласно рекомендациям табл. 8.5 [8].
Из формулы (4.18) следует, что 
— безразмерный коэффициент, значения которого зависят только от формы зуба (размеры 
) и в том числе от формы его галтели (коэффициент 
). Форма зуба при одинаковом исходном контуре инструмента зависит от числа зубьев колеса 
и коэффициента смещения инструмента 
. Рассмотрим эту зависимость.
Влияние числа зубьев на форму и прочность зубьев.
На рис. 4.22 показано изменение формы зуба в зависимости от числа зубьев колес, нарезанных без смещения с постоянным модулем. При стремящегося к бесконечности колесо превращается в рейку и зуб приобретает прямолинейные очертания. С уменьшением уменьшается толщина зуба у основания и вершины, а также увеличивается кривизна эвольвентного профиля. Такое изменение формы приводит к уменьшению прочности зуба. При дальнейшем уменьшении появляется подрезание ножки зуба (штриховая линия на рис. 4.22), прочность зуба существенно снижается. При нарезании инструментом реечного типа для прямозубых передач число зубьев на границе подрезания 
.
Функциональная зависимость коэффициента формы зуба от числа зубьев хорошо просматривается по кривой = 0 на рис. 4.21. интенсивно уменьшается до 
и далее остается примерно постоянным.
Рассмотренное влияние числа зубьев на прочность справедливо при постоянном модуле, когда с увеличением увеличиваются и диаметры колес. При постоянных диаметрах с изменением изменяется модуль . В этом случае изменяются не только форма, но и размеры зуба. С увеличением форма улучшается, а размеры уменьшаются (уменьшается ). Уменьшение модуля снижает прочность зуба на изгиб [см. формулу (4.19)].
Смещение инструмента при нарезании зубьев и его влияние на форму и прочность зубьев.
На рис. 4.23 изображено два положения инструмента (рейки) при нарезании зубьев: 1 — делительная плоскость рейки (ДП) совпадает с начальной плоскостью (НП) — нарезание без смещения; 2 — инструменту дано положительное смещение 
. При этом основной 
и делительный 
диаметры колеса не изменяются, так как не изменяется (НП по-прежнему обкатывается по , а ДП смещена на ). Как видно из чертежа, смещение инструмента вызвало значительное изменение формы зуба. Толщина зуба у основания увеличилась, увеличилась и прочность зуба по напряжениям изгиба. Одновременно с этим заострилась головка зуба. Заострение является одной из причин, ограничивающих значение смещения инструмента. Отрицательное смещение инструмента сопровождается явлениями обратного характера.
Применяют два типа передач со смещением:
- Шестерню изготовляют с положительным смещением
, колесо — с отрицательным 
, но так, что ,
или 
.
При любом смещении сумма ширины впадины и толщины зуба по делительной окружности равна шагу р. Одинаковые по значению, но разные по знаку смещения вызывают одинаковые увеличения толщины зуба шестерни и ширины впадины колеса. Поэтому в зацеплении зубчатой пары при 
делительные окружности соприкасаются и являются начальными, как в передаче без смещения. Не изменяются также межосевое расстояние 
и угол зацепления 
:
Изменяется только соотношение высот головок и ножек зубьев.
Суммарное смещение 
не равно нулю. Обычно > 0, а также 
> 0 и 
> 0. При положительных и делительная толщина зубьев шестерен и колеса больше 
/2. Поэтому делительные окружности не могут соприкасаться. Начальными становятся новые окружности, большие, чем делительные 
(см. рис. 4.5). Межосевое расстояние увеличивается:
При этом увеличивается и угол наклона линии зацепления как общей касательной к основным окружностям, т. е. увеличивается угол зацепления: 
. Увеличение 
сопровождается уменьшением коэффициента перекрытия 
, что является отрицательным и служит одной из причин, ограничивающих применение больших смещений.
Нарезание со смещением позволяет во многих случаях повысить качество зубчатого зацепления. Применяя смещение, необходимо помнить:
Положительное смещение повышает прочность зубьев на изгиб и устраняет подрезание при малом числе зубьев (понижает 
). Например (см. рис. 4.21), при = 25 увеличение от нуля до +0,8 уменьшает в 1,2 раза. Соответственно уменьшаются и напряжения изгиба 
, — [см. формулу (4.19)].
- Увеличение при > 0 повышает контактную прочность [см. формулу (4.10)]. Можно увеличить до 25° и поднять допускаемую нагрузку приблизительно на 20%.
При большом числе зубьев у шестерни и колеса смешение малоэффективно, так как форма зуба даже при значительных смещениях почти не изменяется. (У зубчатой рейки, которая подобна колесу при = 0, смещение совершенно не изменяет форму зуба.)
Передачи со смещением при =0 применяют при больших 
и малых 
. В этих условиях смещения 
> 0 и 
< 0 выравнивают форму зубьев шестерни и колеса и приближают их к равнопрочности по изгибу.
Эта теория взята со страницы лекций по предмету «прикладная механика»:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
