Пусть в матрице 
размера 
выбраны произвольно 
строк и столбцов 
. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка , определитель которой называется минором — го порядка матрицы .
Например, в матрице имеются миноры 1-го, 2-го и 3-го порядков:
и т.д.,
и т.д.
Максимальный порядок 
отличных от нуля миноров матрицы называется её рангом, а любой минор порядка , отличный от нуля, называется базисным. Ранг матрицы обозначается 
.
Пример:
Определить ранг матрицы 
,
Решение:
Матрица имеет один минор 3-го порядка:
Минор 
равен нулю, так как элементы первой и третьей строк пропорциональны.
Миноров второго порядка несколько. Некоторые из них не равны нулю:
Следовательно, ранг матрицы равен двум.
Ответ: 
.
Примечание — в примере 1.6 ранг матрицы определяется простым перебором миноров. Однако существуют специальные методы определения ранга матрицы, например, метод элементарных преобразований, и другие.
С понятием ранга матрицы связан критерий существования решений общих линейных систем алгебраических уравнений. Под общими системами понимаются системы, в которых число уравнений может не совпадать с числом неизвестных, а также такие системы, в которых определитель матрицы системы равен нулю.
Будем рассматривать общую систему 
линейных уравнений с 
неизвестными 
:
Матрица системы состоит из коэффициентов при неизвестных:
Если в матрице системы добавить столбец свободных членов, то полученную матрицу называют расширенной матрицей системы 
:
Критерий существования решений системы (1.16) или, иначе, критерий совместности системы выражен теоремой Кронекера — Капелли.
Теорема. Система уравнений (1.16) совместна (имеет решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы .
Следствие теоремы Кронекера — Капелли: если 
, то система (1.16) несовместна и решений не имеет.
Неравенство 
невозможно, так как добавление столбца в матрице не может привести к уменьшению её ранга.
Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
| Решение определенных систем с помощью правила Крамера |
| Решение систем с помощью метода Гаусса |
| Векторы. Линейные операции над векторами |
| Разложение вектора по базису: определение и пример с решением |
