Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда

Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда

Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда. Определение 1.Характеристика форма серии Здесь a и r0 задаются комплексным числом, где r-комплексная переменная и называется степенным рядом. Числа Он называется коэффициентом степенного ряда (37.1). Мы изучаем поведение ряда (20) для различных r, предполагая, что коэффициенты и число рядов фиксированы. В серии(37.1) установите и замените переменную? = 2-20, затем получаем серию Очевидно, что исследование сходимости ряда (37.1) эквивалентно исследованию сходимости ряда (37.2).Итак, в дальнейшем мы будем рассматривать ряд форм (37.2), чтобы обозначить не теорему 1 (Абель), а букву r как переменную.

Все степенные ряды имеют радиус сходимости пределах сходящегося круга, то есть ряд полностью сходится на R в любом круге. Людмила Фирмаль

• Сила. доказательство G \ / g01, сходящееся с r = r0 = f = 0, и / сходится абсолютно против r. Отпустите меня. Он сходится. Тогда этот N-й член гЦЦ* ° (см.§ 35.2) стремится к нулю, ограничивая таким образом последовательность{го}}.То есть, потому что константа 0 0 существует、 Если | g | / r0 | (рис. 142), то ряд^ Быть общей Это позволит получить оценку для I-го члена ряда (37.2). Знаменатель d представляет собой геометрический рядТаким образом, на основе сравнения (см. раздел 35.5), ряды также будут сходиться 2 \ app|, то есть абсолютно сходимость ряда | r |(37.3) |r0/. Я не уверен. Результаты 1.In случай степенного ряда, который будет (37.3) расходится при r = r0, затем расходится при r. Действительно, если g | / d01 и ряд (37.4) расходятся, то ряд (37.3) расходится. Когда он сходится, как доказано, ряд (37.4) также сходится.

Определение 2.Предположим, что серия была дана. Если бы не я Целое число или+°°означает, что| r | C //все r, где сходится ряд (37.3), и / r] ./ ?Для всех сходящихся r ряд (37.3) имеет расходящиеся характеристики. Тогда он называется радиусом сходимости степенного ряда (37.3). множество точек r из \ r \ C ^называется серией сходящихся окружностей(3.3). Теорема 2. 121 ec r, r фиксирован и r. ряд (37.3) сходится равномерно. Доказательство. Разделите все действительные числа на 2 класса. Присвоить все неположительные числа классу А、 Положительный x 0 (если присутствует） 2. Линия 2 АТСН сходится, остальные классы классифицируются как класс В.

• Если класс B не пуст, то этот раздел является разделом вещественного множества (см.§ 2.1). на самом деле класс A не всегда пуст, потому что он содержит все неположительные числа. После определения класса A все остальные числа присваиваются классу B, поэтому каждое действительное число четко классифицируется как класс A или B. наконец, для xe4 yBB, для xO0 мы получаем x y или x0, потому что это всегда 0, а затем следует теорема Абеля x Su. Поэтому выполняются все условия, определяющие сечение поля вещественных чисел. Число B для создания этого раздела. Если значение Б пустое, установить H = 4-ОО по определению. Величина# это радиус сходимости ряда (37.3). На самом деле, давайте исправим некоторые g| g | #. | 2 | х0#. По определению# получается r0eL, поэтому ряд Он сходится. Отсюда, согласно теореме Арвеля, в неподвижной точке r, g|# ряд (37.3) сходится и даже сходится абсолютно.

Если | g/#, выберите фактический x0, затем # x0 C / r |; x0 e B, следовательно, ряд (37.5) diverge. As в результате из теоремы Абеля мы видим, что в этом случае ряд (37.3) расходится. В случае 0 r#здесь, по доказанному, ряд (37.3) сходится абсолютно против r = R. То есть ряд чисел сходится И для любой точки r в окружности| g / dCg(рис. 143） Затем, согласно критериям Вейерштрасса (см.§ 36.3), ряд (37.3) сходится равномерно на этой окружности. Тс points. At граничная точка круга сходимости, ряд может делать как сходимость, так и дивергенцию(см. Следующий пример).

Таким образом, сходящаяся область степенного ряда всегда должна быть «кругом», за исключением, возможно, некоторого множества его границ. Людмила Фирмаль

• Подчеркивается, что сходящийся радиус степенного ряда (37.3) имеет следующие характеристики: G | 7 для каждого числа r like|?Для каждого r указанные ряды сходятся полностью| g | ?Это, по-видимому, вытекает из определения радиуса сходимости и теоремы 2. Члены степенного ряда являются непрерывными функциями и, как показано, их сумма смежна со всеми окружностями в круге сходимости, так как степенной ряд сходится равномерно со всеми границами в круге сходимости. Очевидно, что для любой точки r в сходящемся круге、 / г / 7?, Включая эту точку, можно выбрать круг, который находится вместе с границей В круге сходимости (/r \ R 7?Достаточно получить радиус r вот так).

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Равномерно сходящиеся функциональные ряды.	Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.
Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей.	Аналитические функции.