Работа переменной силы
Пусть материальная точка перемещается под действием силы
, направленной вдоль оси
и имеющей переменную величину
, где
— абсцисса движущейся точки
.
Найдем работу силы
по перемещению точки
вдоль оси
из точки
в точку
(
). Для этого отрезок
точками
разобьем на
частичных отрезков
. Сила, действующая на отрезке
, меняется от точки к точке. Но если длина отрезка
достаточно мала, то сила
на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции
в произвольно выбранной точке
. Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке
, равна произведению
. (Как работа постоянной силы
на участке
.)
Приближенное значение работы силы
на всем отрезке
есть

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина . Поэтому за точное значение работы
принимается предел суммы (36.1). при условии, что наибольшая длина
частичных отрезков стремится к нулю:

Итак, работа переменной силы , величина которой есть непрерывная функция
, действующей на отрезке
, равна определенному интегралу от величины
силы, взятому по отрезку
.
В этом состоит физический смысл определенного интеграла.
Аналогично можно показать, что путь , пройденный точкой за промежуток времени от
до
, равен определенному интегралу от скорости
:

масса неоднородного стержня па отрезке
равна определенному интегралу от плотности
.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Гиперболический параболоид |
Конус второго порядка |
Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах |
Давление жидкости на вертикальную пластинку |