1) Канонические уравнения прямой имеют вид

где — координаты точки, принадлежащей прямой;
— направляющий вектор прямой.
2) Из канонических уравнений можно легко получить уравнения прямой в проекциях

3) Уравнения прямой, проходящей через различные две точки и
, имеют вид

4) Параметрические уравнения прямой получаются из канонических, если принять за каждое из соотношений

5) Общие уравнения прямой (пересечение двух плоскостей) имеет вид

6) Векторное уравнение прямой имеет вид , где
— направляющий вектор прямой;
— радиус-вектор точки
, принадлежащей прямой;
— радиус-вектор произвольной точки
, принадлежащей прямой.
Определение угла между прямыми в пространстве сводится к определению угла между направляющими векторами этих прямых.
Если — направляющие векторы, то

Тогда условие параллельности прямых сводится к условию параллельности направляющих векторов:

Условие перпендикулярности:

Определение угла между прямой и плоскостью сводится к определению угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.
Если — направляющий вектор прямой,
— нормальный вектор плоскости, то

Задача:
Пусть даны точки
1) Написать уравнения прямых и
. Определить угловые коэффициенты этих прямых.
2) Найти координаты точки их пересечения.
3) Найти угол между этими прямыми.
4) Найти расстояние от точки до прямой
.
Решение:
1) Для составления уравнения прямых удобно воспользоваться уравнением прямой, проходящей через две точки (см. гл.З, §2. №4)
:
, умножим обе части уравнения на -6, получим
, или
Аналогично получим уравнение прямой :

2) Чтобы найти точку пересечения прямых, надо систему уравнений этих прямых.
,
найдем из второго уравнения системы
. Ответ:
3) Для определения угла между прямыми воспользуемся формулой Ответ:
4) Расстояние от точки до прямой
, заданной общим уравнением, вычисляется по формуле
.
Запишем уравнение прямой в общем виде
. Имеем
,
и
. Подставляем в формулу и получим
.
Ответ:
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Различные виды уравнения плоскости |
Угол между плоскостями |
Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола |
Исследование общего уравнения кривой 2-го порядка |