Прямая линия в пространстве: определение по высшей математике с примерами

1) Канонические уравнения прямой имеют вид

где Прямая линия в пространстве — координаты точки, принадлежащей прямой;

Прямая линия в пространстве — направляющий вектор прямой.

2) Из канонических уравнений можно легко получить уравнения прямой в проекциях

3) Уравнения прямой, проходящей через различные две точки Прямая линия в пространстве и , имеют вид

4) Параметрические уравнения прямой получаются из канонических, если принять за Прямая линия в пространстве каждое из соотношений

5) Общие уравнения прямой (пересечение двух плоскостей) имеет вид

6) Векторное уравнение прямой имеет вид Прямая линия в пространстве , где — направляющий вектор прямой; — радиус-вектор точки , принадлежащей прямой; — радиус-вектор произвольной точки , принадлежащей прямой.

Определение угла между прямыми в пространстве сводится к определению угла между направляющими векторами этих прямых.

Если Прямая линия в пространстве — направляющие векторы, то

Тогда условие параллельности прямых сводится к условию параллельности направляющих векторов:

Условие перпендикулярности:

Определение угла между прямой и плоскостью сводится к определению угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.

Если Прямая линия в пространстве — направляющий вектор прямой, — нормальный вектор плоскости, то

Задача:

Пусть даны точки Прямая линия в пространстве

1) Написать уравнения прямых Прямая линия в пространстве и . Определить угловые коэффициенты этих прямых.

2) Найти координаты точки их пересечения.

3) Найти угол между этими прямыми.

4) Найти расстояние от точки Прямая линия в пространстве до прямой .

Решение:

1) Для составления уравнения прямых удобно воспользоваться уравнением прямой, проходящей через две точки (см. гл.З, §2. №4) Прямая линия в пространстве : , умножим обе части уравнения на -6, получим , или