Оглавление:
Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи
Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
Пусть плоскость задана уравнением
, а прямая
уравнениями
.
Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через угол между плоскостью
и прямой
, а через
— угол между векторами
и
(см. 80). Тогда
. Найдем синус угла считая
. И так как
, получаем

Если прямая параллельна плоскости
, то векторы
и
перпендикулярны (см. рис. 81), а потому
, т. е.

является условием параллельностей прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна плоскости
, то векторы
и
параллельны (см. рис. 82). Поэтому равенства

являются условиями перпендикулярности прямой и плоскости.
Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости
Пусть требуется найти точку пересечения прямой

с плоскостью

Для этого надо решить систему уравнений (12.18) и (12.19). Проще всего это сделать, записав уравнения прямой (12.18) в параметрическом виде:

Подставляя эти выражения для и
в уравнение плоскости (12.19), получаем уравнение
или

Если прямая не параллельна плоскости, т. е. если
, то из равенства (12.20) находим значение
:

Подставляя найденное значение в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью.
Рассмотрим теперь случай, когда :
а) если , то прямая
параллельна плоскости и пересекать ее не будет (уравнение (12.20) решения не имеет, так как имеет вид
, где
);
б) если , то уравнение (12.20) имеет вид
; ему удовлетворяет любое значение
, любая точка прямой является точкой пересечения прямой и плоскости. Заключаем: прямая лежит в плоскости. Таким образом, одновременное выполнение равенств

является условием принадлежности прямой плоскости.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Уравнения прямой в пространстве |
Прямая линия в пространстве |
Цилиндрические поверхности |
Поверхности вращения |