Пространство основных функций а и пространство обобщенных функций S’

Пространство основных функций а и пространство обобщенных функций S’

Пространство основных функций а и пространство обобщенных функций S’. 5 показывает набор всех комплекснозначных функций, которые могут быть бесконечно дифференцируемы по числовой оси.Эти функции, наряду со всеми производными、 х-ня это быстрее, чем любая степень.То есть, установить 5 Он состоит только из бесконечно дифференцируемой функции p, где условие истинно для неотрицательной ямы любого целого числа ПТН х » фут «(х)=0.(59.22） Х ► ОО Условие принадлежности функции φ множеству 5 также может быть сформулировано несколько иначе.Джилл / Фип (н)(х)| СП%Т ОО. (59.23） СО * /оо Фактически, если это так, замените n в (59.23) на π+ 1, чтобы получить|. ХЛ + 1Ф(т) (х) я CN + 1У т, таким образом * ЦН \ 1. т. 。 1 * 1 \ ’ Х » ф (т) (х)|. Оттуда (59.22) будет следовать.

Бесконечно дифференцируемая функция φ принадлежит S’ для неотрицательного числа целых чисел. Людмила Фирмаль

• Напротив, это следует из (59.22) и ограничения xn (m \на любом интервале) (59.23). Очевидно, что множество 5 линейно space.In кроме того, при φ= 5 производная функции φ принадлежит пространству 5. Определение 21.Столбцы функций φ (χ)e5, 6 = 1, 2,…, Называется функцией φ (x) e 5, которая сходится к 8 в случае всех неотрицательных целых чисел, и каждый столбец xyf » 1) (x), 6 = 1, 2,…Сходятся равномерно по оси Функция χф1 (Т) (X). Очевидно, если только 5 тφφ=в / ? «ое Все неотрицательные ямы (59.24） Золото / xn [φ^ *(x) φ(τ) (x)] [= 0. -так-л. + ко 59.5.Космический Дос.Функция 3 и prost.It был обобщен.Функция 8 ‘531 5 в случае p * =φ、 Порядок φ*”) * ■φ (, л) в 5, m = 1, 2, линейное пространство 5 В операции перехода к введенному пределу, находится линейное пространство со сходимостью.

Очевидно, что 0,8 с 0,8, в частности, функция φ6eC, k-1, 2,…Последовательность 収束 сходится к функции φ и сходится к функции φ и 5.At то же время, Φ8, e * r e-5, но e-x ‘ pE. Проблема 42.Докажите, что пространство O является плотным при 5, то есть что функция φe 5 является пределом при 5 для определенной последовательности функций Φ * e I), k = 1, 2 Определение 22.Линейный непрерывный функционал, определенный в пространстве 8, называется обобщенной функцией постепенного роста.Множество всех таких функций называется пространством медленно растущей обобщенной функции, обозначаемой через 8’. Каждый функционал / e 3′, рассматриваемый только в множестве является, является обобщенной функцией, поэтому элементы множества 5′ можно интерпретировать как расширение линейного непрерывного функционала от множества на до 5 (см. § 59.2).

• Например, функция δ, определенная феей, формула которой (b, φ)=0 (0) в§59.3 (пространство D), может быть расширена до пространства 5 с использованием той же формулы. можно показать, что не все обобщенные функции продолж распространяются на 5.In в этом смысле можно сказать, что 5 образует точную часть D. Упражнения 18.Обобщенная функция, порожденная локально интегрируемой функцией ex, доказывает, что ее нельзя распространить на элементы пространства 5′. Оцениваемая локально интегрируемая функция f(x） | /(х) / ^ а | * | (59.25） (Λ и-не являются отрицательными константами), в частности, любой многочлен порождает функционал в пространстве продолж, расширяемый до линейного непрерывного функционала на 5. {С (/.φ)= 5 / ( * ) φ (x) dx,φb5.

Объектно-ориентированный * §59.Обобщенная функция 532. Действительно, из условий (59.22) и (59.25) Интеграл (59.25) существует потому, что f-(x) X Xp (x)-0 быстрее любой степени-потому что это x〜»oo. Также обратите внимание, что все функции/(x), которые полностью интегрируются по числовой оси, также производят линейный непрерывный функционал с формулой (59.26) больше, чем 5.In факт, так как все функции φ^ 5 ограничены, в этом случае существование Интеграла (59.26) является неравенством от 4 до 100 4′ ° \ | //(х) Φ(х) я ух Зир ^ | φ (X)я $ Я /(х) я Iıx. оо-ОО д; + ОО ха Упражнение. 19.Докажите, что функция (59.26) линейна и непрерывна в пространстве 5(как когда функция/растет бесконечно медленно, так и когда она полностью интегрируется по числовой оси). Один х + 0 O ‘(см. Упражнение 8） 20.

Такие функции называются медленно растущими функциями и являются производными от термина «медленно растущие обобщенные функции». Людмила Фирмаль

• Доказать, что обобщенная функция является расширяемым пространством элемент 5′. Множество 5 образует линейное пространство со сходимостью, сопряженной с 5 (см.§59.2). Для любой функции φε5, для обобщенной функции в пространстве 5 и для обобщенной функции из 0′, φ’ε5 является, следовательно, выражением (G. φ)=-(ФΦ’), можно определить производную/’по Φ5. Таким образом, обобщенная функция (e5′, производная/’всегда присутствует и становится/ ‘e5’. кроме того, в элементе fe0 производная обобщенной функции / / считается производной пространства O ‘и 5′, respectively.In O’, пространство 5′, как и в случае пространства, производной от предела является все.

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Определение обобщенных функций. пространства D и D’.	Преобразование фурье в пространстве S.
Дифференцирование обобщенных функций.	Преобразование Фурье обобщенных функций.