Промежуточные значения непрерывных функций

Промежуточные значения непрерывных функций

Промежуточные значения непрерывных функций. Теорема 2 (теорема Больцано-Коши).Если функции a непрерывны с отрезками [a, b] и A(a)= A, A (b)= B, то для C, окруженного A и B, существует точка x∈[a, b]. А (Х) = С То есть, последовательные функции в сегменте принимают 2 значения, а также значения между ними. Двести восемнадцать Доказательство. Чтобы быть ясным, Ф (А)= А + Б = F (Б) и Используя B, разделите отрезок[a, b]по точке x на 2 отрезка равной длины. Тогда, так как A(x)= C, искомая точка X = x найдена, или A (x)> C, и на любом конце полученного отрезка функция A-это значение, противоположное числу C, точнее-самое левое, значение меньше C, самое правое-большее. Обозначим этот отрезок[a, b]и снова разделим его на 2 равных отрезка по длине, etc.

Таким образом, множество всех значений непрерывной функции, заданных на определенном интервале, также является сегментом. Людмила Фирмаль

• As в результате после конечного числа шагов мы достигаем искомой точки X при/(X)= C или получаем последовательность вложенных отрезков[ap, bn], которая стремится к нулю по длине.、 / К) с (бн). (6.8） X-общий знаменатель всех отрезков[an, bn], n = 1, 2,…(См. § 3.7).Как известно (см. (4.26)), х = Иш = Иш БН. н→н→ж → з Таким образом, непрерывность функции、 /(Х)= Иш а(в) = Иш /(ЛН). (6.9） н→н→ж → з Получить из (6.8) (см.§ 3.3） Иш а (ап) с Иш /(БН). (6.1） н→н→ж → з Из (6.9) и (6.1), f(X)= C. Я не уверен. Следствие 1. /Если функция смежна на отрезке и уменьшает значение другого знака в его конце, то для положительного отрезка существует по крайней мере 1 точка, в которой функция умрет. Этот результат является частным случаем теоремы (рис. 31). Следствие 2. * Функция / непрерывна на интервале[a, b], M = vir/, m = m4/.

Затем функция / уменьшает все значения в интервале[m, M]и только эти значения. Если M = sup / доказать результат、 [си]] m =1π 7/, то m /(x) и, согласно теореме 1, существенно[a, b] есть точки, где f (a)= m, f (P)= M∈[a, b]и P∈[a, b].Следствия задачи непосредственно вытекают из теоремы 2, примененной к интервалу[a, P. Для], P или для отрезков[P, a], P a соответственно. Обратите внимание, что свойства непрерывной функции, которая принимает все промежуточные значения, действительны на любом интервале (конечном или бесконечном).Именно так. Если функция, непрерывная на определенном интервале, принимает 2 точки a и b и 2 значения в a b, то она также принимает промежуточное значение value.

• Дело в том, что согласно теореме 2 рассматриваемая функция явно принимает значение, указанное в некоторой точке интервала[a, b], являющегося частью начального интервала. Замечание. И теорема 1, и теорема 2 доказали существование точки На некотором интервале, в которой значение рассматриваемой непрерывной функции имеет определенную характеристику (в первой теореме экстремум достигается в этой точке, во второй принимается заданное промежуточное значение).Однако существует принципиальное различие между методами, используемыми для доказательства этих утверждений. Метод доказательства теоремы 2 не только доказывает существование точки, указанной в общем случае, но и позволяет найти ее на практике с определенной точностью для каждой конкретной функции.

Концы полученного отрезка будут приближенными значениями указанных точек. Метод доказательства теоремы 1 не позволяет показать, как для каждой последующей функции в интервале можно найти точку, в которой берутся экстремальные значения. Это связано с тем, что доказательство этой теоремы основано на теореме Больцано-Вейерштрасса. Двадцать два Возможность извлечения сходящихся подпоследовательностей из каждой ограниченной последовательности. Нет никакого конкретного метода. Или, не говоря уже, алгоритм для извлечения конвергентных подпоследовательностей из любой ограниченной последовательности.

Каждый раз, когда вы выбираете сегмент, в котором ищут точки, половину по правилам, указанным в сертификате, вам нужно разделить его пополам достаточно раз. Людмила Фирмаль

• Также при использовании алгоритма на практике следует отметить, что важно, насколько быстро он достигнет поставленной цели. С этой точки зрения приближенное решение уравнения A (x)=обычно не использует метод деления отрезка пополам подряд, но использует другие алгоритмы, которые быстро приводят к цели(см.§ 2 62 в томе). Выпуск 7.Докажите, что период периодически непрерывной функции всей числовой оси, кроме константы, равен shortest. An пример периодической функции, отличной от константы, которая определена по числовой оси и не имеет минимального периода.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Предел и непрерывность композиции функций.	Обратные функции.
Ограниченность непрерывных функций.	Равномерная непрерывность.