Оглавление:
Производные основных элементарных функций
Степенная функция 
Дадим аргументу 
приращение 
. Функция 
получит приращение 
. По формуле бинома Ньютона имеем
Тогда
Находим предел составленного отношения при 
:
Таким образом,
Например, 
.
Ниже (см. замечание на с. 175) будет показано, что формула производной степенной функции справедлива при любом 
(а не только натуральном).
Показательная функция 
Найдем сначала производную функции 
. Придав аргументу
приращение находим приращение функции 
. Стало быть, 
и
При вычислении предела воспользовались эквивалентностью 
при 
.
Итак, 
, т. е.
Теперь рассмотрим функцию 
. Так как 
, то по формуле производной сложной функции находим:
Таким образом, 
.
Пример №20.5.
Найти производную функции 
.
Решение:
Используя формулу производной сложной функции и формул}’ производной показательной функции, находим
Логарифмическая функция 
Найдем сначала производную функции 
.
Для нее
Переходя к пределу при и воспользовавшись эквивалентностью 
при , получаем:
т. е. 
или 
.
Теперь рассмотрим функцию 
.
Так как 
, то
Таким образом, 
.
Пример №20.6.
Найти производную функции 
.
Решение:
Производную логарифмической функции можно найти иначе. Так как обратной для нее функцией является 
, то по формуле производной обратной функции имеем:
Тригонометрические функции 
Для функции 
имеем:
Переходя к пределу при и воспользовавшись первым замечательным пределом 
, получаем
т. е. 
или 
.
Найдем производную функции 
, воспользовавшись формулой производной сложной функции:
т.е. 
.
Для нахождения производных функций 
и 
воспользуемся формулой производной частного:
т. e. 
.
Проделав аналогичные операции, получим формулу
Этот результат можно получить иначе:
Пример №20.7.
Найти производную функции 
.
Решение:
.
Обратные тригонометрические функции 
Пусть 
. Обратная ей функция имеет вид 
, 
. На интервале 
верно равенство 
.
По правилу дифференцирования обратных функций
где перед корнем взят знак плюс, так как 
при 
. Итак, 
.
Аналогично получаем, что 
. Эту формулу можно получить проще: так как 
, т. е. 
, то 
.
Найдем производную функции 
.
Она является обратной к функции 
, где .
Поэтому, по правилу дифференцирования обратных функций, получаем, что
Итак, 
.
Функции 
и 
связаны отношением
Дифференцируя это равенство, находим
т. е. 
.
Пример №20.8.
Найти производные функций: 
Решение:
Замечание: Найдем производную степенной функции 
с любым показателем 
. В этом случае функция рассматривается для 
.
Можно записать 
. По правилу дифференцирования сложной функции находим
т. е. 
.
Формула остается справедливой и для 
, если функция существует:
при всех 
.
Дополнительный пример №20.9.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
