Оглавление:
Производные высших порядков суммы и произведения функций
Производные высших порядков суммы и произведения функций. Теорема 1. Предположим, что функции y1 = f (x) и y2 = f2(x) имеют производную n-го порядка в точке x. функции y1 + y2 = f(x)+ / 2(x) и y2 = f(x)/ 2 (x)также имеют производные n-го порядка в точке x. Где, как обычно, Cn-число комбинаций из n элементов V (V=, 1, 2,…северный.) (y1y2) (Н)=(У1 + У2) м Индекс{n}означает, что выражение (y1 + y2)^ » K записывается как биномиал Ньютона.
Формула(1.2) обычно называется формулой Лейбница 1 и может быть записана символически в следующей удобной форме для легкого запоминания. Людмила Фирмаль
- То есть, как сумма тех же коэффициентов, что и биномиал, только порядки функций y1 и y2 заменяются производными соответствующего порядка((1.2) посмотреть). Формула(1.1) и(1.2) доказывается индуктивным методом. для N = 1, то есть для производных 1-го порядка, они были сертифицированы в§ 9.5.Теперь предположим, что эти выражения справедливы для производной n-го порядка. Докажем эффективность производной Порядка n + 1. 1 Г.
- Формула (2) доказано. В случае произведения расчетной функции это несколько сложнее. Теперь воспользуйтесь тем, что Cn = Cn = r, и установите V = o-r, чтобы изменить общий индекс 2-й суммы. После этого новый общий индекс п изменяется от R до«. Затем в полученной сумме мы объединяем попарные члены с производными того же порядка. если вы показываете общий общий индекс по p,、 Таким образом, с «т с» 1 = с «тг и с» тг = с » 2 = 1 Мы получаем Следствие, fc и c являются константами, а V = f (x) функция, реализующая производную порядка в x.
Лейбниц (1664-1716) немецкий философ и математик. Людмила Фирмаль
- In в этом случае функция c /(x) также реализует производную порядка x = x. (Су) (Н)= Су (Н). (1.3） На самом деле Формула (1.2) в y = c, y2 = y, в Формуле(1.3) будет уступать. Однако формула (9.18) следует очевидному методу из применения 折-свертки к ω-функции. Рассмотрим пример. y = x 8m x. используя формулу Лейбница, найдите производную от (1). (x3 81P x) (1)= x3 81P(x + 1 2 ^ + 1•3×2 81P(x + 9 2 + + 1•9•Зх81п(х+ 82+ 1•9•88т(х+ 72 = 3 2 = x 81P x + 3×8 x + 27×81P x-72×8.
Смотрите также:
