Оглавление:
Производная сложной функции
Теорема 5.3. Если функция дифференцируема в точке
, а функция
дифференцируема в точке
, то сложная функция
дифференцируема в точке
и

Доказательство.
Так как функция дифференцируема в точке
, то приращение этой функции в точке
может быть записано в виде

где . Разделим равенство (5.5) на
. получим

Равенство (5.6) справедливо для любых достаточно малых . Возьмем
равным приращению функции
, соответствующему приращению
аргумента
в точке
, и устремим в этом равенстве
к нулю. Так как по условию функция
имеет в точке
производную, то она непрерывна в этой точке. Следовательно, согласно определению непрерывности,
при
. Но тогда и
также стремится к нулю, т. е. имеем

В силу соотношения (5.7) существует предел правой части равенства (5.6) при , равный
. Значит, существует предел при
и левой части равенства (5.6), который, по определению производной, равен производной сложной функции
в точке
. Тем самым доказана дифференцируемость сложной функции и установлена формула (5.4). ■
Замечание 5.2. Формула (5.4) может быть усложнена. Например, если и все три функции имеют производные в соответствующих точках, то

Пример 5.6.
Найти производную функции .
Решение:
Данную функцию можно представить в виде , где
. Тогда, по формуле (5.4), получаем

Заменяя на , окончательно получим
.
Ответ: .
Пример 5.7.
Найти производную функции .
Решение:
Данную функцию можно представить в виде , где
а
. Используя формулу (5.8), получаем

Ответ:
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы: