Оглавление:
Правила дифференцирования существенно расширяют возможности практического нахождения производных. Однако наиболее мощным средством нахождения производных является правило дифференцирования сложных функций.
Рассмотрим функции и . Тогда функция будет называться сложной функцией. Например, если , а , то будет являться сложной функцией.
Для нахождения производной сложной функции будем использовать следующую теорему: если функция дифференцируема по переменной , а функция дифференцируема по переменной , то сложная функция дифференцируема по переменной , причем её производная вычисляется по формуле: .
Функцию называют основной функцией, a — «сложностью». Тогда правило нахождения производной сложной функции будет иметь вид: производная сложной функции равна производной основной функции, умноженной на производную «сложности»: .
При нахождении производных конкретных функций целесообразно принимать какое-либо выражение за , чтобы прийти к одной из следующих формул дифференцирования сложных функций:
Рассмотрим нахождение производных сложных функций на конкретных примерах.
Пример №11.5.
Найдите производную функции .
Решение:
Функция — сложная функция. Обозначим и придем к показательной функции . Найдем ее производную по таблице производных сложных функций:
. Заменяя через придем к производной вида:
Ответ:
Пример №11.6.
Найдите производную функции .
Решение:
Функция — сложная функция. Обозначим и придем к тригонометрической функции . Найдем ее производную по таблице производных сложных функций:
Ответ:
Пример №11.7.
Найдите производную функции .
Решение:
Представим исходную функцию в виде степени: . Обозначим и придем к функции .
Тогда
Ответ:
Пример №11.8.
Найдите производную функции .
Решение:
Обозначим и придем к функции .
Тогда
Видим, что тоже сложная функция, обозначив , найдем её производную:
(здесь мы применили краткую запись решения).
Получили,что
Ответ:
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
Нахождение производных основных элементарных функций. |
Правила дифференцирования функций. |
Геометрический смысл производной. |
Уравнение касательной к кривой. |