Для связи в whatsapp +905441085890

Производная сложной функции

Правила дифференцирования существенно расширяют возможности практического нахождения производных. Однако наиболее мощным средством нахождения производных является правило дифференцирования сложных функций.

Рассмотрим функции Производная сложной функции и Производная сложной функции. Тогда функция Производная сложной функции будет называться сложной функцией. Например, если Производная сложной функции, а Производная сложной функции, то Производная сложной функции будет являться сложной функцией.

Для нахождения производной сложной функции будем использовать следующую теорему: если функция Производная сложной функции дифференцируема по переменной Производная сложной функции, а функция Производная сложной функции дифференцируема по переменной Производная сложной функции, то сложная функция Производная сложной функции дифференцируема по переменной Производная сложной функции, причем её производная вычисляется по формуле: Производная сложной функции.

Функцию Производная сложной функции называют основной функцией, a Производная сложной функции — «сложностью». Тогда правило нахождения производной сложной функции будет иметь вид: производная сложной функции равна производной основной функции, умноженной на производную «сложности»: Производная сложной функции.

При нахождении производных конкретных функций целесообразно принимать какое-либо выражение за Производная сложной функции, чтобы прийти к одной из следующих формул дифференцирования сложных функций:

Производная сложной функции
Производная сложной функции

Рассмотрим нахождение производных сложных функций на конкретных примерах.

Пример №11.5.

Найдите производную функции Производная сложной функции .

Решение:

Функция Производная сложной функции — сложная функция. Обозначим Производная сложной функции и придем к показательной функции Производная сложной функции. Найдем ее производную по таблице производных сложных функций:

Производная сложной функции. Заменяя Производная сложной функции через Производная сложной функции придем к производной вида:

Производная сложной функции

Ответ: Производная сложной функции

Пример №11.6.

Найдите производную функции Производная сложной функции.

Решение:

Функция Производная сложной функции — сложная функция. Обозначим Производная сложной функции и придем к тригонометрической функции Производная сложной функции. Найдем ее производную по таблице производных сложных функций:

Производная сложной функции

Ответ: Производная сложной функции

Пример №11.7.

Найдите производную функции Производная сложной функции.

Решение:

Представим исходную функцию в виде степени: Производная сложной функции. Обозначим Производная сложной функции и придем к функции Производная сложной функции.

Тогда

Производная сложной функции
Производная сложной функции

Ответ: Производная сложной функции

Пример №11.8.

Найдите производную функции Производная сложной функции.

Решение:

Обозначим Производная сложной функции и придем к функции Производная сложной функции.

Тогда

Производная сложной функции

Видим, что Производная сложной функции тоже сложная функция, обозначив Производная сложной функции, найдем её производную:

Производная сложной функции (здесь мы применили краткую запись решения).

Получили,что Производная сложной функции

Ответ: Производная сложной функции

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Нахождение производных основных элементарных функций.
Правила дифференцирования функций.
Геометрический смысл производной.
Уравнение касательной к кривой.