Производная сложной функции нескольких переменных для высшей математики

Оглавление:

Производная сложной функции. Полная производная

Пусть Производная сложной функции — функция двух переменных и , каждая из которых является функцией независимой переменной : . В этом случае функция является сложной функцией одной независимой переменной Производная сложной функции ; переменные и — промежуточные переменные.

Теорема 44.4. Если — дифференцируемая в точке функция и и — дифференцируемые функции независимой переменной , то производная сложной функции вычисляется по формуле

Дадим независимой переменной Производная сложной функции приращение . Тогда функции и получат приращения и соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение функции .

Так как по условию функция Производная сложной функции дифференцируема в точке , то ее полное приращение можно представить в виде

где Производная сложной функции при (см. п. 44.3). Разделим выражение на и перейдем к пределу при . Тогда и в силу непрерывности функций и (по условию теоремы — они дифференцируемые). Получаем:

т.е.

или

Частный случай: Производная сложной функции , где , т. e. — сложная функция одной независимой переменной . Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной играет . Согласно формуле (44.8) имеем:

Производная сложной функции или

Формула (44.9) носит название формулы полной производной.

Общий случай: Производная сложной функции , где , . Тогда — сложная функция независимых переменных и . Ее частные производные и можно найти, используя формулу (44.8) следующим образом. Зафиксировав Производная сложной функции , заменяем в ней соответствующими частными производными .

Аналогично получаем: Производная сложной функции

Таким образом, производная сложной функции () по каждой независимой переменной ( и ) равна сумме произведений частных производных этой функции () по ее промежуточным переменным ( и ) на их производные по соответствующей независимой переменной ( Производная сложной функции и ).