Производная по направлению

Производная по направлению

Производная по направлению. Частичная производная функции является производной от направления координаты axes. It естественно ставить вопрос об определении и расчете производной в любом фиксированном направлении. Во-первых, мы определяем это понятие. Рассмотрим этот вопрос на примере функции для 3 переменных. Функция M определяется точкой M0e / 3 в окрестности V 8 (M0; 8) и M1eY (M0; 8).Проведите линию через точки M0 и HELL. Для положительного направления этой линии Векторное направление/ = A10LD, точка кровяного давления. Для любой точки M в этой строке указывается ориентированная длина отрезка, начинающегося в точке M0, начинающегося в точке M0 и заканчивающегося в точке AD. Плюс.

Производная дифференцируемой функции направления достигает максимального значения в одном направлении, то есть в направлении наклона. Людмила Фирмаль

• Вектор M0M имеет то же направление, что и вектор I, в противном случае он имеет знак минус. Определение 7.Ограничения Это называется производные. Функция / вектор I с точки зрения направления кровяного давления、 Затем фиксируем систему координат x, y, r в пространстве D3 и находим связь между координатами AD HELL (x0, y0, r0), M =(x, y, r), Ax =x-x0, Au = y-y0, Ar r-r0 и$ = ADAD точки M и направлением длины 5 отрезка AD HELL. пусть ce, p, y-углы, образованные вектором ADx и осью Ox, Oy и Og соответственно. Вдоль прямой ADA1 функция/является функцией 1 переменной 8, то есть Производная этой функции по отношению к 5 (если есть конечно) является производной функции/в точке AD в направлении вектора льда.

Векторы Косинуса, co $ p и cos ADAD равны M0 =(x0, y0, r0) и AD = Производные направления вычисляются по дифференциальным правилам комплексных функций. Сделать функцию [(x, y, r) дифференцируемой по точкам (x0, y0, r0)、 х = х0 4-сякие, а Г-я co8 $ р, р = Р0 + 5CO8y. (20.44） В соответствии с определением производной направления и формулой производной комплексной функции、 Поэтому, в конце концов Это и есть искомая формула. Таким образом, доказываются следующие теоремы: Теорема 7.Сделайте функцию/дифференцируемой по точкам (x0, y0, r0).в этой точке функция/имеет производную в любом направлении, и эта производная находится в Формуле (20.46). Интересно, что из Формулы производной направления, полученной (20.46), не сразу понятно, что эта производная не зависит от выбора системы координат.

• Эта независимость непосредственно вытекает из определения производной от самого направления. То есть, правая часть формулы(20.46) не зависит от выбора ортогональной декартовой системы координат и определяется только точками Mn и МХ. Или, что эквивалентно, точка M0 и вектор M ^ MxВектор с координатами d1/■. -dg называется следующим образом Мы знаем, что наклон функции/(M) в точке M обозначается§gas1/. (Рассматривая неявно определенную кривую, мы уже сталкивались с понятием градиента в функции. См. раздел 20.6.） Таким образом, если/.] и k являются координатными единичными векторами、 (20.47） Возможно, будет полезно использовать символический вектор Гамильтона* 1. Она называется Набура. Nabla-это обозначение конкретной операции, выполняемой по определенной функции.

Набор, по определению, для функции/ Формально это равенство можно считать «произведением» вектора V и числа/.Следовательно, gab /и V / являются представлениями одного и того же выражения. Здесь вектор / берется как единица измерения, и I =(cos a, co $ p, cos).Используя градиент, формулу для производной функции/в направлении вектора/можно записать следующим образом: Где правая сторона-скалярное произведение векторов / и§ 1/. Итак, поскольку/ единичный вектор、 Где ρ-угол, образованный векторами/и§gas1/.Это выражение может быть То есть для конкретной функции точек/(M) наклон каждой точки однозначно определяется самой функцией и не зависит от выбора системы координат, как это впервые указано в Формуле(20.47).

На самом деле, прежде всего, если в одной декартовой системе координат наклон равен нулю, то во всех других подобных системах координат наклон равен нулю. Людмила Фирмаль

• zero. In дело в том, что наклон в какой-то момент будет равен нулю, согласно формуле (20.48) соответствует тому, что производная во всех направлениях в этом отношении равна нулю. Последнее не зависит от выбора декартовой системы координат. Потому что направленная производная не зависит от этого выбора. Если наклон не равен нулю, то его независимость от выбора декартовой системы координат получается непосредственно из геометрического смысла, который был доказан выше. Направление наклона указывает направление наиболее быстрого роста функции (unique), а ее значение равно производной от этого направления. Теперь возьмем непрерывную дифференцируемую кривую, такую, что сингулярность не проходит через точку (x0, y0, r0) и вектор M0M1 касателен к ней.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала.	Пример исследования функций двух переменных.
Градиент функции.	Частные производные высших порядков.