Оглавление:
Признаки существования пределов
- Признаки существования лимитов Не все функции ограничены. Например, функция x-o y = sin x не имеет ограничений. Для многих аналитических вопросов достаточно проверить наличие функциональных ограничений. В таких случаях указывается наличие ограничения. • Теорема 1 (предел промежуточной функции). Если функция f (x) окружена двумя функциями
Джо I- «Хо Φ) ^! (X) ^ g {x \ • (2) тогда lim f (x) = A х- + х о -4 Из уравнения (1), если e> 0, существуют две окрестности точек <5i и <$ 2, одна из которых содержит неравенство -A \ <e, то есть e <y (x) -A <e, (3) И другие \ g (x) -A \ <e, т.е. е <д (х) -А <е. (4) 3 является меньшим из чисел <5j и 6-2. Далее, около x0 оба неравенства (3) и (4) выполняются. Из неравенства (2) f) -A <} (x) -A <d (x) -A. (5)
| Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией | Первый замечательный предел |
| Основные теоремы о пределах | Второй замечательный предел |
Примеры решения, формулы и задачи
| Решение задач | Лекции |
| Расчёт найти определения | Учебник методические указания |
- Учитывая неравенства (3) и (4), неравенства (o) порождают неравенства -e <} (x) -A 0 36> 0 Vrc: 0 <\ x-x0 \ <6 \} (x) -A \ хо Теорема 1 иногда в шутку называется «принципом двух полицейских». Роль «полицейского» играют функции <p (x) и d (x), а функция f (x) «следует за полицией».
Теорема 2 (предел монотонной функции). Если функция f (x) является монотонной и ограничена x x0, то существует левый предел соответственно. lim / (x) =} {xq-0) x-> io — O Или его правый предел lim f (x) = f (x0-f 0). х—> хо + 0 Доказательство этой теоремы не приводится. Следствие 1.
Ограниченная монотонная последовательность xn, 72 € N имеет ограничения. Людмила Фирмаль
