Признаки существования пределов функции
Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция при
предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.
Теорема 17.10 (о пределе промежуточной функции). Если функция заключена между двумя функциями
и
, стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т. е. если

то

Из равенств (17.6) вытекает, что для любого существуют две окрестности
и
точки
, в одной из которых выполняется неравенство
, т. е.

а в другой , т. е.

Пусть — меньшее из чисел
и
. Тогда в
-окрестности точки
выполняются оба неравенства (17.8) и (17.9).
Из неравенств (17.7) находим, что

С учетом неравенств (17.8) и (17.9) из неравенства (17.10) следуют неравенства или
.
Мы доказали, что

то есть .
Теорему 17.10 иногда шутливо называют «принципом двух милиционеров». Роль «милиционеров» играют функции и
, функция
«следует за милиционерами».
Теорема 17.11 (о пределе монотонной функции). Если функция монотонна и ограничена при
или при
, то существует соответственно ее левый предел
или ее правый предел
.
Доказательство этой теоремы не приводим.
Следствие 17.6. Ограниченная монотонная последовательность ,
, имеет предел.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Бесконечно малые функции |
Основные теоремы о пределах |
Обратная функция |
Сложная функция |