Оглавление:
Признаки Даламбера и Коши для рядов с неотрицательными членами
Признаки Даламбера и Коши для рядов с неотрицательными членами. Бывают случаи, когда помогают какие-то особые признаки последовательной конвергенции. Они берутся непосредственно * Ж. Д’алембар (1717-1783) французский философ и математик. 35.6.Признаки Д’Аламбера и коши 559. Из символов сравнения, если взять хорошо подобранный геометрический ряд как ряд сравнений. Теорема 8 (критерий Д’Аламбера).Дайте положительный ряд. Члены Совета И 2 un, и » 0, n = 1, 2,….(35.23） н = я И затем… 1) Если есть такое число 7, 0 d; 1 и число n0(Неравенство для всех n> n0 Тогда эта серия сойдется. 2) если существует число n0 такое, что выполняется неравенство 32 = 1. 1-1 «Я Тогда эта серия будет ветвиться.
Среди них следует отметить так называемый признак д’Аламбера и признак Коши. Людмила Фирмаль
- Доказательство. O⊂C1 и n> n0 такие, что число n0 существует. ИС±1 „Я И затем… un0 + 1 = 5 = Cn0 C、 И „0 + 2 M“ 0 + 1 7 IIA “ A ; УН, Яр И серия un $ + uPod2 + … + + …Конвергенция、 Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, включающей знаменатель 9 (0 9; 1), то по знаку сравнения ряд также сходится Лио + 1 + » ЯО+ 2 +•••+ M / 1o + p + * * I Следовательно, оригинальные серии(35.23). Если n0 присутствует для всех n> n0、 Неравенство 11n + 1 ^ 1, то un IPP + 1 = = IP、 Он, 4-2 ИПО _ | _ 1 с * кгис И, по предположению, » 0 0, самый верхний член ряда не стремится к нулю, потому что он ограничен снизу положительными константами. Пятьсот шестьдесят В результате необходимые условия сходимости рядов не выполняются (см. теорему 1 в этом разделе), поэтому ряды (35.23) расходятся.
- Предположим, что результат существует. Тогда/ 1、 Я Тогда ряд (35.23) сходится, а если 1, то ряд (35.23) расходится. И Как и здесьВ качестве примера рассмотрим серию^ Н-1 И золото ИД +—золото ^ РP-OO I-X 1 Один Н \ Да. И так оно и есть. В соответствии с § 35.Числовой ряд В результате теоремы 10 этот ряд сходится. Конечно, эта конвергенция может быть установлена путем сравнения, например, с конвергенцией И Нажмите рядом с 2 Н* * * * 1 Вот более содержательный пример применения функции Dalambers(см., например,§ 36.1): Теорема 9 (критерий тренера).Давайте дадим ему серию. 2 я, М » ^ 0, н = 1.2(35.24） если N = −1 И затем… 1) если существует неравенство для y, 0 1, и все tn0 •Я УТГП.
Это следует непосредственно из доказанной теоремы. Людмила Фирмаль
- Для всех η> n0、 Тогда эта серия сойдется. 2) если существует такое число n0, то неравенство Тогда эта серия будет ветвиться. Доказательство. Случай Взбитые^ ч, Ил 7 «、 И Затем, для сравнения, ряд (35.24) сходится. Это серия 2 Fl Я 1 Сошлись на 0 (/1. Если НЗП ^ == 1,A2n0、 Тогда» ^ ^ 1, так что ряд(35.24) расходится (см. теорему 1). Тс 35.7.Интегральная сходимость ряда 561. Расследование.; Заставить его существовать Хм = /. Тогда для/ 1 ряд (35.24) сходится, а для 1 \он расходится. Доказательства такого исхода очевидны. Подумайте о серии И Тю НЗП = ФМ = 0、 И В. ГУ \ п «. ^ Реми 9, Эта серия будет сходиться. Его сходимость легко устанавливается с помощью теоремы 7. И Это все. Пт ^ ±1 = 1 или птулц» = 1 б. GU1 Н. ГУ * \ (35.25)） Замечание. Серия 2-un, un 0, n-1,2,…Дело, как известно Ничего не ясно о его конвергенции. Например, строка Он удовлетворяет обоим условиям(35.25), но первое из них расходится, а второе сходится.
Смотрите также:
