Оглавление:
Приведение квадратичной формы к сумме квадратов
- Приведение от квадратичной формы к сумме квадратов В этом разделе мы рассмотрим проблему выбора такого фундамента. Его квадратичная форма (инвариантная квадратичная функция Векторные координаты; именно эта концепция определена ниже) Более простой вид. Ch для вторичной формы. В 7.
- В частности, различные способы привести такую форму Сумма квадратов. Представляем понятие так называемой формы Эрмита. Сесквилинная форма определения B (x, y) называется er мит, отношения между х и у B (x, y) = B (x, y). E.79) Согласно результату теоремы 5.11, любая сесквилинная форма только ма B (x, y) (включая Эрмита).
Zome отображается в следующем формате B (x, y) = (Ax, y), E.80) Где A — линейный оператор. Людмила Фирмаль
Давайте докажем следующие два утверждения. Условием того, что сесквилинейной формой является эрмит. Теорема 5.25. Линейный тип Ceski B (x, y) Эрмит и оператор А Выражение этой формы E.80) было самосвязью (A = A *). Доказательство. Конечно, если А является самостоятельным Затем получите его, используя свойство скалярного произведения B (x, y) = (Ax, y) = (x, Au) = (Au, x) = B (y, x)
Следовательно, соотношение E.79) выполнено. ma B (x, y) = (Ax, y) — эрмит. Если форма B (x, y) = (Ax, y) эрмитова, поверните снова Получить уравнение для свойства скалярного произведения (Ax, y) = B (x, y) = B (y, x) = (Au, x) = (x, Au) Следовательно, (Ax, y) = (x, Au), то есть оператор A Сопряженные. Теорема доказана. Теорема 5.26. Линейный тип Ceski B (x, y) Так как это был Эрмит, функция B (x, x) Это было правдой Доказательство.
Форма B (x, y) относится к типу Эрмита Для линейного оператора A выражения E.80 Эта форма является самосопряженной (см. Теорему 5.25). По словам Теорема 5.18, для оператора A быть самосопряженным, Скалярное произведение необходимо и достаточно для любого х Предложение (Ax, x) было реальным. Теорема доказана. Вводит понятие вторичной формы.
- Пусть B (x, y) эрмитово. Вторичный формат, соответствующий форме B (x, y) Была введена функция B (x, x). Докажите следующую квадратичную теорему редукции К сумме квадратов. Теорема 5.27. Определите B (x, y) как тип Эрмита Все виды векторов x и y, n-мерное евклидово пространство V. И есть такое ортонормированное в этом пространстве Основа {е ^} и такое действительное число A /. Могу показать.
Для x, принадлежащего V, квадратичная форма B (x, x) Может быть выражена как следующая сумма квадратов Ордината базисного вектора x ^ k B (x, x) = ^ A * | a | 2. E.81) к = я Доказательство. Форма B (x, y) является эрмитом, Однако теорема 5.25 имеет следующий самосопряженный оператор A. B (x, y) = (Ax, y). E.82).
Здесь мы возвращаемся к теореме 5.21. Людмила Фирмаль
По этой теореме Для A мы можем показать правильный ортонормированный базис {e &} Вектор этого оператора. A & является собственным значением A, а && — Координаты вектора x базиса {e ^}. Затем используйте уравнение E.12) и соотношение Ae /, = A ^ e /, 19), чтобы получить: Следующая формула для Ах: N Ax = V A * & e *, E.84) / ^ Из E.83), E.84) и базисной ортонормированности {e ^}, мы получаем.
Следующая формула для (Ax, x): N (Ax, x) = Y 19) Эти отношения вытекают из того факта, что A & и E & являются соответствующими. Оператор Значение и собственный вектор E.81) получается из этой формулы и соотношения E.82). — Рема это доказал. Вот важная теорема одновременного редукции Две квадратичные формы для суммы квадратов.
Теорема 5.28. A (x, y) и B (x, y) являются эрмитовыми, Определяется любым типом вектора x и y линейного размера V. Кроме того, для всех ненулевых элементов Для x из V выполнено неравенство B (x, x)> 0. В V мы можем показать базис {e &}, который является квадратичным A (x, x) и B (x, x) могут быть выражены как: A (x, x) = 5> * | & | 2, E.85) к = я B (x, x) =? | L2, E.86) Где Xk — реальное число? & Координата вектора x радиуса Все {ек}.
Доказательство. Скалярное произведение и Эрмит тип В (х, у) свойства с дополнительными требованиями x (0) B (x, x)> 0 формулируется аналогичным образом. Вводит скалярное произведение (x, y) в линейное пространство V Поставить вектор (X, y) = B (x, y). E.87) Следовательно, V является следующим евклидовым пространством.
Скалярное произведение E.87). Теорема 5.27 позволяет нам показать такую ортонормированность в V. sis {e /,} и вещественное A / квадратичное в такой основе Форма A (x, x) отображается в формате E.85. С другой стороны, в ортонормированной основе скаляр Произведение (x, x), равное, согласно E.87), B (x, x), равное общему Квадрат модуля вектора x координата. Следовательно, представляют Утверждение B (x, x) в форме E.86) также оправдано. Теорема доказана.
Смотрите также:
