Оглавление:
Принцип возможных перемещений
Пусть мы имеем несвободную систему материальных точек, находящуюся в равновесии под действием всех приложенных к ней активных сил и сил реакций наложенных на нее идеальных связей.
Выделим произвольную точку 
этой системы. Равнодействующую всех приложенных к ней активных сил обозначим через 
и равнодействующую всех реакций наложенных на нее связей — через 
. Так как выделенная точка находится в равновесии вместе со всей системой, то две приложенные к ней силы и должны быть направлены в противоположные стороны и равны по модулю. Сообщая системе возможное перемещение, отметим перемещение 
, (рис. 239), получаемое при этом точкой , системы.
Составляя сумму элементарных работ всех сил, приложенных к точке на ее возможном перемещении, получим:
Написав подобные равенства для всех точек системы и просуммировав их, получим:
Но для идеальных связей согласно самому их определению всегда
Следовательно, при равновесии системы с идеальными связями
Нетрудно доказать справедливость и обратного положения.
Если для какой-либо системы с идеальными связями
то эта система находится в равновесии.
Таким образом, мы приходим к весьма важному принципу механики, называемому принципом возможных перемещений.
Для равновесия системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы равнялась нулю сумма элементарных работ всех приложенных к ней активных сил на всяком возможном перемещении, системы из положения равновесия
Пользуясь выражением (189) элементарной работы, условию (215) равновесия системы с идеальными связями можно придать другую форму:
где 
— проекции на оси координат, приложенных к системе активных сил; 
— элементарные приращения координат 
-й точки системы па возможном перемещении этой точки.
Принцип возможных перемещений выражает необходимые и достаточные условия равновесия не только абсолютно твердого тела, но и любых систем материальных точек. Особенно удобно пользоваться им в случаях, когда находящаяся в равновесии система состоит из большого числа связанных между собой тел. Решение задачи о равновесии такой системы при помощи уравнений равновесия, даваемых геометрической статикой, весьма громоздко. Приходится мысленно расчленять систему на отдельные тела и заменять наложенные на них связи неизвестными реакциями. Это приводит к составлению большого числа уравнении со многими неизвестными.
В уравнения же (215) и (216), выражающие принцип возможных перемещений, реакции идеальных связей не входят вообще. Данными уравнениями можно пользоваться и тогда, когда трением в связях пренебречь нельзя.
В этом случае при применении уравнений (215) и (216) надо отнести силы трения к категории активных сил.
Число условий равновесия системы равно числу ее степеней свободы. Если система имеет, как чаще всего бывает в практических задачах, только одну степень свободны то одно из равенств (215) или (216) устанавливают единственное условие равновесия такой системы.
При решении задачи методом возможных перемете ним нужно составить схему всех приложенных к систему активных сил, включая в их число и силы трения (когда ими пренебречь нельзя).
Если задача решается геометрически, с помощью уравнения (215), то, сообщив одной из точек системы возможное перемещение, нужно показать па схеме векторы 
соответствующих перемещений точек приложения всех действующих на систему активных сил и углы 
соответствующих поворотов тел, па которые действуют активные силы. Записав уравнение (215) элементарных работ всех активных сил на соответствующих возможных перемещениях, нужно найти зависимость между величинами и вошедшими в уравнение, выразив их все через одну или найдя соотношение между ними. После этого мы получаем уравнение, из которого легко находятся искомые величины.
Если задача решается аналитически, с помощью уравнения (216), то нужно выбрать неподвижные по отношению к рассматриваемой системе оси координат. Затем найти проекции на эти оси каждой из активных сил и координаты 
их точек приложения. Выразив последние в виде функций обобщенных координат системы, путем дифференцирования их по этой обобщенной координате, находят элементарные приращения , координат точек приложения данных сил па возможном перемещении этих точек.
В случае, когда система обладает несколькими степенями свободы, уравнения (215) и (216) надо составлять для каждого независимого перемещения отдельно, считая при этом возможные перемещения, соответствующие другим степеням свободы, равными нулю. Искомая величины в этом случае определяются из совместного решения уравнении равновесия, число которых должно быть равно числу степеней свободы рассматриваемой системы.
Принципом возможных перемещений можно пользоваться и для определения реакций связей. В частности, и в том случае, когда система представляет собой жесткую конструкцию, не обладающую ни одной степенью свободы.Для определения реакции какой-либо связи, наложенной на систему, мысленно отбрасывают эту связь, заменяя ее действие на систему реакцией связи к включая ее в число активных сил, действующих на систему. Сообщая системе, освобожденной от одной связи, возможное перемещение, составляют уравнение работ (215) или (216), из которого и определяется искомая реакция связи.
Пример задачи:
В гидравлическом прессе (рис. 240) диаметр малою цилиндра 
, диаметр большого цилиндра 
. Пренебрегая трением, определить усилие 
, перпендикулярно к его длине. для того чтобы уравновесить силу 
сопротивления сжимаемого тела
Решение:
Рассматривая систему как находящуюся в, равновесии под действием сил 
и , сообщим рычагу возможное перемещение— поворот па бесконечно малый угол вокруг точки 
. При этом точка 
приложены силы получит возможное перемещение совпадающее с направлением силы , а точка 
приложения силы — перемещение 
противоположное направлению силы . Применяя к равновесию системы принцип возможных перемещений, составим уравнение (215):
Для того чтобы найти отношение 
возможных перемещений точек и , найдем сначала соотношения между возможными перемещении точек 
и рычага и точек и 
порошей пресса.
Перемещения 
и 
пропорциональны расстояниям точек и рычага от его оси вращении:
Объем жидкости, вытесняемой малым поршнем при его перемещении вниз на величину
равен
жидкости, поступающей при этом в большой цилиндр, равен
где 
— перемещение большого поршня, соответствующее перемещению 
малого поршня. Из очевидного равенства этих объемов имеем:
Перемножая правые и левые части равенств (II) и (III), получим:
Подставляя найденное выражение (IV) в равенство значение искомого усилия:
Пример задачи:
В кулисном механизме (рис. 241) при качании кривошипа 
вокруг горизонтальной оси 
ползун 
, перемещаясь вдоль кривошипа , приводит в движение ползун , движущийся в вертикальных направляющих. Найти, какой момент 
сил относительно оси вращения при данном угле 
поворота кривошипа надо приложить к кривошипу, чтобы уравновесить вертикальную силу 
. приложенную к ползуну 
. Расстояние 
Решение:
Дадим кривошипу возможное перемещение — поворот на элементарный угол 
. Тогда по формуле (200) элементарная работа силы, приложенной к кривошипу:
При указанном на рис. 241 направления вращения кривошипа возможное перемещение 
точки приложения силы будет направлено вертикально вверх, т. е. в сторону, противоположную направлению этой силы.
Составляя уравнение (213) равновесия системы, будем иметь:
Выразим перемещение через обобщенную координату . Возможное перемещение ползуна равно вертикальному перемещению точки 
кривошипа. Из рис. 241 находим ординату точки :
Отсюда, дифференцируя это выражение по , получим
Подставляя найденное значение в уравнение равновесия, будем иметь:
Пример задачи:
К шарнирному четырехзвеннику 
(рис. 242), звено , которого неподвижно, а точке приложена сила 
, перпендикулярная к звену 
, и в точке — сала 
, перпендикулярная к звену 
. Найти зависимость между модулями сил и , если четырехзвенник находится и равновесии и углы 
и 
известны.
Решение:
Нарушим мысленно равновесие системы, повернув на бесконечно малый угол звено . Точка приложения силы , получит при этом элементарное перемещение , совпадающее с направлением силы , и точка приложения силы — элементарное перемещение противоположное направлению силы .
Составляя уравнение равновесия системы, получим:
Перемещения и точек и звена 
пропорциональны скоростям этих точек. По теореме же о проекциях скоростей двух точек фигуры на прямую, соединяющую эти точки (§ 62), мы имеем:
Отсюда находим:
Заменяя правую часть равенства (I) найденным ее значением (II), находим:
Пример задачи:
Однородный стержень (рис. 243) весом 
может вращаться на неподвижном шарнире 
в вертикальной плоскости. Конец этого стержня соединен шарниром с другим однородным стержнем , вес которого 
. К концу второго стержня приложена горизонтальная сила . Пренебрегая трением в шарнирах, найти углы и , которые стержни и составляют с горизонталью при равновесии системы.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся уравнением равновесия системы в форме:
Примем неподвижную точку за начало координат и проведем оси координат так, как показано на рис. 243. Проекции на эти оси приложенных к системе активных сил:
Уравнение равновесия принимает при этом вид
Координаты точек приложения данных сил будут:
Рассматриваемая система имеет две степени свободы, так как ее положение определяется двумя независимыми друг от друга возможными перемещениями: поворотом стержня вокруг точки 
на элементарный угол 
и поворотом стержня 
вокруг точки на элементарный угол 
.
Составим уравнение (216) равновесия для каждого независимого перемещения отдельно, считая при этом другое возможное перемещение равным нулю.
1) Положим 
. Тогда, дифференцируя равенства (II) по , найдем частные дифференциалы соответствующих координат:
Подставляя эти значения в равенстве (I), получим:
Отсюда, сокращая все члены последнего равенства на 
находим:
2) Положим 
Дифференцируя равенства (II) по , находим соответствующие частные дифференциалы координат точек приложения сил:
Подставляя эти значения в равенство (I), получим:
Пример задачи:
Составная балка , лежащая на трех опорах, состоит из двух балок 
и 
, шарнирно соединенных в точке 
(рис. 244, а). К балке приложена пара сил с моментом 
, направленным по ходу стрелки часов, и в точке 
вертикальная сила 
. К балке в точке 
приложена вертикальная сила 
. Даны размеры:
Пользуясь принципом возможных перемещений, определить реакции опор 
и 
. Весом балок пренебречь.
Решение:
1) Для определения реакции опоры мысленно отбросим эту опору и заменим ее действие на балку реакцией 
данной опоры. Теперь балку можно рассматривать как систему с одной степенью свободы, находящуюся в равновесии под действием приложенных к ней активных сил и реакции связи. Возможным перемещением этой системы без нарушения остающихся связей (шарнира 
и опор 
и 
) будет поворот балки вокруг шарнира на элементарный угол 
. Предположим, что этот поворот совершается по ходу стрелки часов (рис. 244,6). Тогда элементарное перемещение 
точки 
приложения силы будет совпадать с направлением этой силы и ее работа будет положительной. Элементарное же перемещение 
точки 
приложения силы 
будет противоположно направлению силы и ее работа будет отрицательной. Работа силы 
будет равна пулю, так как точка 
приложения этой силы не перемещается вовсе при данном возможном перемещении системы. Так как принятое направление поворота балки совпадает с заданным направлением вращения пары, то элементарная работа пары согласно формуле (200) равна 
и будет положительной.
Составляя уравнение (215) равновесия системы, будем иметь:
Из 
(рис. 244,6) находим:
Подставляя эти значения о равенство (I), получим
Знак минус показывает, что реакция направлена в действительности не вверх, как было предположено, а вниз.
2) Для определения реакции 
опоры отбрасываем эту опору и заменяем ее действие на балку реакцией этой опоры. Давая полученной системе возможное перемещение (рис. 244, в), составляем для нее уравнение равновесия:
Здесь, перед выражением работы 
пары сил, взят знак минус, таи как заданное направление вращения пары в данном случае противоположно предположенному (рис. 244. в) направлению поворота балки (против часовой стрелки).
Выразим возможные перемещения точек приложения всех сил через какой-нибудь один параметр, например, через угол поворота 
. Предварительно найдем зависимость между углом , поворота балки и соответствующим ему углом 
поворота балки .
Из рис. 244, в имеем:
откуда
Подставляя найденные значения перемещений в равенство (II), получим:
3) Отбрасывая опору и давая системе возможное перемещение, составляем уравнение равновесия:
Подставляя найденные значения перемещений в равенство (III), получим
Знак минус показывает, что реакция 
должна быть направлена вниз, а не вверх, как было предположено.
Определив методом возможных перемещений реакции двух опор, реакцию третьей опоры проще было бы найти, использовав уравнение равновесия статики для плоской системы параллельных сил:
Данную задачу можно было бы, конечно, и целиком решить методом статики твердого тела. Для этого надо было бы расчленить мысленно балку 
на две балки 
и 
. заменив действие шарнира 
на каждую из них его реакциями. Затем составить для каждой из балок соответствующие уравнения равновесия статики и совместно решить полученную систему уравнений.
При сложных системах, особенно когда не требуется определять реакции всех связей, метод возможных перемещений дает более короткое решение задачи.
Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:
Теоретическая механика — задачи с решением и примерами
Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:
