Оглавление:
Продольный изгиб призматических стержней (простые случаи)
Принимая во внимание одновременное действие изгиба и сжатия стержня(Т. Л., С. 223), было показано, что существуют определенные критические значения сжимающих сил, которые могут вызвать большой прогиб из-за незначительных боковых нагрузок. ) Эта критическая сила сжатия равна Р ха） Черный? 9. В Где Y-минимальный главный момент инерции cross-section.
- В эксперименте, когда усилие сжатия, приложенное к гибкому стержню, приближается к этому значению, начинается боковое изгибание, и нагрузка, обычно равная критическому значению, оказывается достаточной, так как она происходит очень быстро с увеличением усилия сжатия force.
Поэтому эту важную нагрузку следует рассматривать как 4 ’критерий прочности гибких стоек и стержней. 。 Ви? Из формулы (а) следует, что эта критическая нагрузка не зависит от прочности на растяжение материала стержня, конструкционной меры материала и модуля упругости. [2 идентично:] гибкий стержень, 1 из которых использует высокопрочный материал * )
To потеря несущей способности конструкции. Людмила Фирмаль
Подробная информация о проблеме продольный изгиб С. В книге Тимошенко 8.Русский перевод, 1946; 1955. * ) Более распространенные случаи, когда продольный изгиб сочетается с кручением, будут рассмотрены ниже(стр. 231). 。 ух… 8) когда гибкость штанги не достаточна, продольный гнуть происходит с сжимающим напряжением превышая вредное пропорциональное.
Этот случай будет рассмотрен ниже(стр. 150). ух… Прочность материала в этих 2 случаях очень различна, но сталь, и другая сталь здания D нормальная выпирает с такой же удельной работой разрыва. Уравнение (а)также показывает, что увеличение момента инерции J может увеличить несущую силу стержня.
Это можно сделать без изменения площади поперечного сечения путем размещения материала как можно дальше от инерциальной главной оси устройства. cross-section. As в результате в случае компрессионного стержня трубчатая секция является более экономичной, чем сплошная. Повысить устойчивость можно за счет уменьшения толщины стенок таких секций и увеличения поперечных размеров.
- Однако толщина стенки имеет нижний предел, и меньше этого, сама стенка становится неустойчивой, и вместо продольного изгиба всего стержня происходит локальный продольный изгиб, который вызывает деформацию стенки. Эти соображения указывают на то, что устойчивость упругой системы или боковое изгибание сжимающего элемента имеет большое практическое значение.
Это особенно верно для многих новейших конструкций, которые становятся все меньше в поперечном сечении из-за использования прочных материалов и*для экономии веса. Часто разрушение инженерных сооружений можно объяснить не недостаточной прочностью материала, а упругой неустойчивостью. 。 「」
Предыдущая экспозиция (т. I, с. 223), критическая нагрузка на стержень была получена с учетом одновременного действия сжимающих и изгибающих сил: если предположить, что стержень сжимается только 1 нагрузкой, приложенной к центру, то мы получим тот же результат.) Рассмотрим случай стержня в виде гибкой вертикальной призмы.
Зажмите дно и приложите нагрузку вдоль оси II-I / F. мил / ш * ш Стержень летит прямо и получает только осевое сжатие. Это прямая форма упругого равновесия Он стабилен, то есть, когда приложена боковая сила и вызвано небольшое отклонение, когда боковая сила удалена, отклонение исчезает * ) Величина критического веса различных условий в конце сжатой призматической колонны равна L.
Это впервые был приобретен Эйлером. Methodus inveniendi lineas curvas maximi minipropilate gaudentes, Lausanne, 1744 Additammentum, см. » De Curva elastlcis.«Рю де л’’academie, Берлин, Т. 13, 1757.Английский перевод этой работы ISIS, № 58, V. 20, 1933. Стержень снова будет прямым. С постепенным увеличением P прямое равновесие становится неустойчивым, и небольшая сила боковой нагрузки вызывает боковое отклонение, которое не исчезает при изменении нагрузки. removed.
В свою очередь, критическая нагрузка определяется как осевая нагрузка. Людмила Фирмаль
Этого достаточно, чтобы удерживать стержень в слегка согнутом состоянии. Форма (рис. 97, б). Эта нагрузка может быть рассчитана с помощью дифференциальных уравнений для криволинейной оси.
Возьмите ось, как показано на рисунке. Получим изгибающий момент при любом сечении mn равным 97, b, P(B-yy, дифференциальное уравнение для оси изгиба Один）• Эдж%£ = П(К). (Си> Очевидно, что на свободном верхнем конце изгиб стержня происходит в плоскости минимальной жесткости. При £7 показана^жесткость изгиба и меньше набора п ’ = тг <с> Упростите выражение (b) до следующей формы (д） Общим решением этого уравнения является х = 8 + ки потому что РХ + С9 грех Военторга.(ми） Cx и C * — это константы, которые необходимо выбрать.
Герметизированные концы соответствуют следующим требованиям Эти условия будут выполнены, если они будут приняты Ci—5, Ca-0. И затем… г = Б (1-соѕ пикселей). — (Ф） Фиксатор в верхней части Су)л -/=». ( * ) Для отклонения, показанного на рис.97, A, dty / dx*, используйте знак плюс в положительной части, в основном»[введение (b). * cosp / = 0, или ^ / =(2л + 1) г,(г） Где L-целое число. Я, удовлетворяющее минимальному значению p1, а следовательно, и выражению (s), получается при n = * 0.Затем, используя формулу ©、 ф. Откуда ^ КЛ 4П•(131
Это критическая нагрузка на стержень, которая показана на рисунке 97.a, то есть минимальная нагрузка, которая может удерживать стержень в слегка изогнутой форме. * из Формулы (e), если n = 1, n = 2… 9г. Г / ^ 25 4 / * » ^ −4 / * Девять••• Отобразится соответствующая ось кривой. 97, s и 97.7.Для формы, показанной на рисунке 97, с, требуется в 9 раз больше критической силы. Для формы, показанной на рис.97.7, усилие должно быть в 25 раз больше.
Продольный изгиб этих форм нестабилен и не имеет практического значения. Это связано с тем, что при достижении нагрузки значения, заданного формулой 131, конструкция теряет свое сопротивление. Важные нагрузки в некоторых других случаях могут быть легко получены из решения предыдущего случая.
Например, в случае неподвижного стержня с шарнирами на обоих концах (рис.98) симметричное условие показывает, что каждая половина стержня находится в том же состоянии, что и стержень, показанный на рис. 10. 97, b. So, критическая нагрузка в этом случае получается путем замены формулы (131)// 2 вместо/. / > КР = ^. (132 Корпус стержня с поворотным креплением на обоих концах очень распространен в практическом применении и называется основным корпусом продольного изгиба призматического стержня.
Когда конец является неподвижным стержнем (рис. 99), возникает момент реакции, который предотвращает вращение конца*во время продольного изгиба. Комбинация сжимающей силы и конечного момента эквивалентна эксцентрично приложенной сжимающей силе Р (рис. 99).Существует точка перегиба, в которой рабочая линия P пересекает ось кривой.
Это происходит потому, что изгибающий момент в этих точках равен нулю. Эти Точки и средние точки пролета делят стержни на 4 равные части. Каждая деталь находится в том же состоянии, что и стержень, показанный на рисунке 4. 97, b. As в результате предельная нагрузка стержня с заглубленным концом может быть определена из уравнения (131) путем замены// 4 вместо 4. п *. (133 )）
В предыдущих обсуждениях предполагалось, что стержни являются очень гибкими, и напряжения, возникающие при продольном изгибе, остаются в пределах пропорционального диапазона. Уравнение (b) может быть применено только при этом условии. для установки pre-g рис. 99.Применимость приведенной выше формулы к критической нагрузке учитывает основной случай (рис.98).
Если разделить обе стороны уравнения (132) на площадь P поперечного сечения стержня и указать минимальный радиус инерции в I: 0″ = — гамма, e = JE(134） * ф = т? Это уравнение может быть применено до тех пор, пока напряжение постоянного тока ниже пропорционального предела material. In случай^ A с этим ограничением, модуль E конкретного материала Известно, что это возможно по формуле^ 134.
Это легко получить предельное значение отношения// / для каждого конкретного случая. Это называется гибкостью стержня. Рисунок / / / 100 зависимость между гибкостью и величиной (уравнение (134)) заключена в кривую Диа для построения Затем: «А.» 2SS7’,’\ В 7SSS СЗ 4• ！ ••я мне. так / ОО:£= 2•10е кг] см сталь ИСО зоопарк ССО. Играть’ Ви предел… Рис.- [Материал] 2000 кг [см] \ 。 CB: используя только часть кривой °возврат каретки Где а зависит от состояния конца стержня и называется также коэффициентом длины. 。 ^»<адрес>».
Расчет столбцов (т. I, с. 227), главным корпусом колонны с поворотным неподвижным концом был considered. In в этом случае полученная информация теперь может быть применена к столбцам с другими условиями вместо фактического сокращения длины/использования длины.
Уравнение (максимальное отклонение 0, 8 относительно оси кривой после продольного изгиба остается неопределенным, то есть при критических нагрузках стержень может иметь небольшой прогиб. Приведенная выше теория может быть применена только к малым отклонениям.
Приближенное выражение(не точное выражение ^曲率のPyjd. JP я не уверен. РТ * г Я+ подстраховаться Решение точного дифференциального уравнения изогнутой оси найдено в некоторых случаях 1); это показывает, что она действует В этом вопросе нет такой неопределенности, как описано выше.
Например, для стержня с поворотным неподвижным концом максимальное отклонение может быть выражено как Восемь * ) Saa lsch fltz, Der belastete Slab, Leipzig, см. 1880 год. Халфен, трактат де fonctions elliptiques, вып.2, p. 192 18*». • * ) R. см. v. Miss, Z. angew. Математика. Ты Макч. Том.4, стр. 435, 1924, см. Также O. Dömke, Bautechnik, t. 4, p. 747, 1926 и R. W. W. rge s, Phys.
Пастор в 1917 году. * 9 Это указывает на то, что когда нагрузка превышает критическое значение, прогиб увеличивается очень быстро. Например, если предположить, что нагрузка на 1% больше ПЦР, то из Формулы (138) видно, что прогиб составляет около 9% длины I-образного стержня. (Предполагается, что напряжение находится в пределах пропорциональности.）
Зависимость между нагрузкой и отклонением может быть выражена в виде графика (рис. 101) кривой oaw, в котором нагрузка является ординатной, а отклонение выражается в виде abscissa. As покуда нагрузка низка Чем Rcr, отклонение равно нулю. При превышении этого предела отклонение быстро увеличивается по мере увеличения нагрузки. (Когда поток начинается, кривая AB больше не применяется, и дальнейшее изгибание происходит, как показано на рисунке 101, сломанный BC.）
В эксперименте изучено явление потери устойчивости при сжатии стержня, прогибе и изгибе.* Сильно зависящий От точности центра нагрузки, а также прямолинейности и ровности стержня. Кривые, показывающие зависимость между нагрузкой и отклонением, обычно аналогичны кривым ОО на рис.3. 101.
Из-за различных видов неточностей кривизна начинается при малых нагрузках, но прогиб увеличивается очень медленно, пока нагрузка не станет намного ниже критического значения. Когда нагрузка приближается к критическому значению, прогиб увеличивается очень быстро.
Чем точнее изготовлен и нагружен стержень, тем ближе экспериментальная кривая к теоретической ОАВ 1). Задачи 1.Сжимают стальные бруски прямоугольного сечения размером 2,5 Х 5 см с обоих концов, закрепленных в осевом направлении вдоль оси.
Определите самую длинную длину, для которой может быть применена формула(132).* если = 2-10 * кг / см9 и предел пропорциональности равен 2000 кг / см.Если длина стержня равна 1,5 г, то определяют величину критического напряжения. Решение.
Минимальный радиус инерции равен 3 см, I = 2/6/2.Таким образом, минимальную длину можно найти из Формулы (134 2000 = Н!-2-10 10 я не уверен.^ * Дж 12 и п Пожалуйста, смотрите^ Критическое напряжение от (134) до / = 1,5 м составляет okr = 457 кг / см*. 1) было получено очень близкое согласие между экспериментальными и расчетными критическими нагрузками.
В. Kärmän ом, Forschungsarb. Нет.81, 1910. К. Меммлер, Proc. См. также 2Д по сети, применить меч. Цюрих, П. 357, 1926. 2.Решите предыдущую задачу, предположив, что стержень имеет круглое поперечное сечение диаметром 2,5 см, а концы защемлены. Ответ. Минимальная длина составляет 1,25 г. / = 1,5 ^ 0 *, если a = 1370 кг / см*. 3. Определить критическую сжимающую нагрузку стойки с помощью поворотного неподвижного конца I секции при Y = 64,4 СМК длиной 1,8 м. Ответ. NQR= ^ = 9.87’21’8 ^ ’64’4- = 39360
Смотрите также:
Предмет сопротивление материалов: сопромат
