Оглавление:
Принцип Гамильтона — Остроградского
- Представьте себе голономную материальную систему с 3 степенями свободы. Конкретное значение времени имеет 3 значения обобщенных координат qt q, qt q, qs q, которые однозначно определяют положение всех точек в системе. Построим систему координатных осей qb qt, qs, рис. 17. 1 Обозначим в ней точки af координат q, qj, q. Это называется точкой изображения. Пространство, связанное с системой осей qb qv q a называется конфигурацией space. Материальная система движется, изменяются обобщенные координаты qj, qit qs. Рисунок 17. 1.
В зависимости от time. Кроме того, точка изображения af представляет собой траекторию, называемую прямой path. So, за период d z, — tt точка изображения представляет собой прямой путь aijalj рис. 17. 2, при этом положение mb соответствует моменту, а положение m соответствует моменту. Если голономная материальная система имеет степень свободы s, то точка изображения m перемещается через размерное пространство. Таким образом, в любой момент времени положение точки изображения m в измерительном пространстве a является обобщенной координатой qlt q. .он определяется с помощью QR .Уравнение Ци 9и т, м.. , q, q, f описать движение В этой материальной системе.
Пусть материальная точка массы т движется по отношению к подвижной системе отсчета, связанной со средой, совершающей переносное движение. Людмила Фирмаль
Это движение происходит под действием системы, то есть силы, приложенной к системе, когда существует начальное условие для указанного движения. Рассмотрим возможное движение этой материальной системы, допускаемое наложенным relationship. It объясняется следующим уравнением 9 41 6 Я, 9 9В 9. .9 9 b9g В этом случае предыдущая прямая Вы получите еще одну орбиту, называемую подземным переходом. Обобщенные координаты б ля., .6 Эти 5 вариаций произвольны, поэтому существует бесчисленное количество округлений в точках изображения рисунок 17.2 показывает округление в виде пунктирной линии. Накладывает следующие условия на изменение обобщенных координат конец интервала tb равен нулю, т. е.
Для и t tt. 6 0. Это означает, что прямой путь и окольный путь соединены в точке afg и mt см. Рисунок 17. 2. Вводит понятие Гамильтонова действия s. Ы — ЛДТ 1 Где l — функция Лагранжа. Движение точки изображения m по прямой траектории m mt сплошная линия на рис. 17. 2 соответствует действительному движению материальной системы с временным интервалом at f2-tg. После вычисления кинетической энергии t, потенциальной энергии ii, функции Лагранжа l, определяют величину действия s по Формуле 1. Движение точек изображения по траектории кругового движения пунктирная линия на рис. 17. 2 соответствует различным перемещениям, допускаемым в одно и то же время при t2-tg connection.
В этом случае значения t, p и l различны. Если вы вычислите действие s по Гамильтону, когда точка изображения m движется по окольному пути, вы получите такие значения, как st, s и т. д. Сравнить значение с соответствующими значениями СГ и СА. При движении по прямому пути вы увидите, что действие очень важно максимум или минимум. Это происходит, когда первое изменение в действии Гамильтона равно нулю.
Принцип Гамильтона-Остроградского можно сформулировать следующим образом если материальная система подчинена идеальной голономной связи, то под действием потенциальной силы прямая траектория и базовая траектория соединяются на полюсах, а когда система движется по прямой траектории, то первая вариация действия s равна нулю, т. е. 6s 6 ldt o. 2 При достаточно коротком временном интервале, at, действие s достигает своего минимума, когда точка изображения движется по прямой траектории, и такого же временного интервала, at, по сравнению с движением по окольному пути см. И. Рори, аналитическая механика, физматогису, 1961.
В более общем случае интегральный принцип Гамильтона-острогради-ски выполняется, если нет условия для потенциала силы Джей 6А АР Д 0 3 Где m-работа активной силы при возможном смещении точки системы, а st-флуктуация кинетической энергии. Следует помнить, что интегральный и вариационный принципы гамильтониана острогладоски сравнивают значения движений, рассматриваемых как действительные движения материальной системы, то есть действия точек изображения по прямым и окольным путям одного и того же периода Д -tv, что в данной книге не обсуждается. В вариационном принципе накладываются и другие условия.
- Общность интегрального и вариационного принципов Гамильтона-Остроградского заключается в его независимости от выбора конкретной системы отсчета. Эти принципы используются при составлении дифференциальных уравнений движения материальной системы с вариационными уравнениями различных форм динамики. Например, он также используется при решении задач с уравнениями Лагранжа типа 2, каноническими уравнениями Гамильтона и методом Динамо-аппроксимации см. Задачу и 20. 13. Кроме того, эти принципы являются отправной точкой обобщения на неклассические области механики волновую механику, квантовую механику и др.
Задача 17. 27. Вычислите Гамильтоново действие s в случае свободного падения с высоты h массы m см. Рисунок. Сравните результат со значением. Действие s с различными движениями описывается уравнением Я 0, г е грех я Где e-малый постоянный параметр. Решение. Свободное падение материальных точек происходит в соответствии с законом Ят 0, y 0, г О Кинетическая энергия точки масс т н л. 2 Потенциальная энергия равна Р — мгз.
Уравнение относительного покоя материальной точки имеет вид Определение переносного движения среды по заданному относительному движению материальной точки, ее массе и силам, приложенным к этой точке. Людмила Фирмаль
Используя результаты 2 и 3 при вычислении функции Лагранжа l Ят ГЗ л ТН м. 4 Если вычислить производную функции времени 1 А 0, р 0, я ГТ. Си Если вы присваиваете выражения 5 и 1 функции Лагранжа 4 Б М. 6 Для вычисления величины Гамильтонова действия s воспользуемся формулой, приведенной в обзоре теории 1. В этом случае fx 0, а tt равен моменту времени, соответствующему падению точки массы с высоты ft. Если принять во внимание уравнение 1 z gt42, то ft v 2h g. So. .я о. Т. Используя границы интеграла 1 при вычислении действия S по формуле 7, запишем Юта.
Если вы присвоите результат 6 формуле 8 и вычислите Интеграл, то найдете искомое значение действия.9 В зависимости от условий, в соответствии с законом осуществляются различные движения, то есть по карусели Яш-О.— esinn г — .10 Как видно из Формулы 10, это движение происходит вдоль синусоиды плоскости Oy-Z .Напомним, что прямая и круговая развязка должны быть соединены в конце интервала, то есть в точках 0 0, 0, 0 и A1 0, 0, ft .Точка O соответствует времени 1 0, а точка M2 соответствует моменту t2 y 2h G .присвоив значение 4 0 выражениям 1 и 10, получим x x 0, y y 0, z-z 0.
Тогда, если ввести 2 Y 2h g в уравнения 1 и 10, то x A 0, y y 0, z z h .таким образом, условия соединения выполняются непосредственно и окольным путем полюсов O и M2.По аналогии с уравнением 4 функция Лагранжа L при движении по синусоиде имеет вид Л — м я ут ЗТ мгз.11 После вычисления производной 10 по времени я 0, ы-ы 12 Если вы присваиваете выражения 12 и 10 функции Лагранжа 11 13 Расчет действия S с измененными движениями осуществляется по формуле.5 Дж ЛДТ.14 Отметим, что пределы интегралов формул 8 и 14 должны быть одинаковыми.
Это неудивительно, поскольку, согласно условиям, лежащим в основе принципа Гамильтона Остроградского, движение по прямым и окольным маршрутам происходит в один и тот же период. Подставляя результат 13 в Формулу 14, рассмотрим его при консолидации. Ку — Получаем нужную величину действия при движении вдоль синусоиды.15 Чтобы сравнить значения прямого пути и действия при движении по круговому пути, вычтите 15 из 9.Этот Как видно из Формулы 16, при любом значении параметра E действие S при движении по прямой траектории вдоль оси Z меньше действия s при движении по круговой траектории различные движения по круговой траектории.
Задача 17.28.Используйте интегральный принцип Гамильтона-Остроградского для получения дифференциальных уравнений для вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Решение. Напомним форму интегрального принципа Гамильтона-Остроградского 6A 0.1 Чтобы применить уравнение 1, активная сила в возможном движении приложенной точки, с изменением кинетической энергии 6G, Ff .. , Операция f sa должна быть рассчитана заранее. Твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси, имеет 1 градус freedom. As обобщенная координата, выберите угол ее поворота. p. Дайте твердому телу возможное угловое смещение bsr. As вы знаете, выражение произведения имеет следующий вид ел-2. Гр т.
Где r-ось вращения твердого тела. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси г м, 3 Где i-момент инерции твердого тела относительно оси вращения r. Изменение функции 3 6Г р6ф. 4 Воспользуйтесь своей личностью Ф6ф фбф ВФ. Си Поэтому из-y 5 p 5ph предполагая, что изменение и дифференцирование являются сменными операциями мы используем b для записи 4 6 6 — 6 6 Если подставить результат выражения 4 6 В7, БПФ −4p6 п.
Чтобы применить принцип Гамильтона-остроглацкого, введем в Формулу результаты 1 2 и 7. Lg 0lvf — 4Нф j6ф л 0 Иначе говоря Дж 2, пере- л п м р — О. Нетрудно заметить, что 2-й Интеграл формулы 8 исчезает. Конечно. 9 Напомним, что основой для вывода интегрального принципа Гамильтона-Остроградского являются условия соединения прямого пути и начала и конца карусели path. So, в этом случае, если f f1 и t tt, то b p 0.
Интеграл 9 гасится, и уравнение 8 принимает вид У Согласно основной Лемме расчета вариации, принимая во внимание значение 6 j, получаем е из Формулы 10. Дифференциальные уравнения, необходимые для вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, следующие 2 ТМ Задача 17. 29. Эластичный и равномерный нерастяжимый сердечник Постоянный раздел, плотно запечатанный на верхнем крае, совершается По вопросу 17. 29. Параметры, а именно Вертикальная плоскость изгиба вибрации ohu-плоскость рисунка. Длина y-стержня равна, p-его плотность, e-модуль упругости, i-момент инерции некоторой площади поперечного сечения.
Применяя вариационный принцип Гамильтона-Остроградского, мы создаем дифференциальное уравнение для изгибной вибрации стержня в плоскости оху. Решение. Рассматриваемый упругий стержень представляет собой материальную систему с множеством распределенных материальных систем Система координат. В несформированном состоянии стержень принимает вертикальное положение ОА. Нарисуйте его на диаграмме в гибком процессе В этом случае любая точка стержня перемещается из положения k в положение ki по координатам x и y. Если y-малое значение 1, то если стержень не растягивается, то разность lx в абсциссах точек k и ki см. Рисунок будет 2 мала.
Игнорируя его, абсцисса x в точке k во время колебания остается постоянной, и поэтому Л 0. 1 величина y зависит от положения точки k на стержне, то есть от x. In процесс вибрации, y также изменяется в зависимости от времени t. 0 2 Чтобы применить вариационный принцип гамильтониана остроглацкого, определите действие j ldt. Где функция Лагранжа l-разность между кинетической энергией и потенциальной энергией, то есть l t-p. Рассчитайте кинетическую энергию стержня с помощью определенного интеграла, учитывающего непрерывное распределение массы. Т 3 Где p-плотность, а o-скорость точки стержня.
Принимая во внимание равенство 1, вычисляем мощность скорости по формуле t x2 j 2, а затем вычисляем мощность скорости по формуле 2 jp. Вводя это значение v в подынтегральное выражение 3 4 Как видно из процесса сопротивления материала, потенциальная энергия упругой деформации изгиба Где е-модуль упругости, а -момент инерции площади определенного поперечного сечения стержня. С тех пор для упрощения обозначения введена следующая запись для частного дифференциала относительно. Итак, запишем формулу 5 в виде с Определим Лагранжеву функцию l t-p. С учетом результатов 4 и 6 Б г j в ПДж -ж ДХ 7 Как известно, Гамильтоново действие s равно s ldt.
Используя формулу 7 5 1 8 Вычислите вариацию действия 5, заданную формулой 8. БС — ДТ п ть-eiy г dх. 9 Согласно принципу Гамильтона-Остроградского, решение вариационной задачи нахождения зависимости y-y x, t сводится к определению такой функции y, действие которой 5 является стационарным значением, то есть первая переменная действия 5 равна нулю. 65 0.
Напомним, что искомая функция y y x, t должна быть непрерывной и иметь непрерывные частные производные по отношению к x и t, и что начальное ti и конечное t изменяются, время должно быть равно нулю. Конец и кругового интервала при ts-соединен 6й. х, ч 0, 6 y х, 0. 11 Подставляя выражение 9 в выражение 10, получаем ДТ p p 6дж — Эли по ДХ 0. 12 Выполните ряд преобразований формулы 12.
Используя перестановку вариаций и дифференцирования, мы пишем 6У — 6У- Уравнение 12 принимает вид С буквы j е — л — 8г-ГУ Е7 ч ОЗ. Пожалуйста, обратите внимание И y c v — u boo, 15 у Бу г — бу — г бу — г — бу. 16 Если вы назначаете 16 на 15 Г — г — Б. У УУ-У бу уБу. 17 Когда вы вводите результаты 14 и 17 в Формулу 13, Вы получаете Иначе говоря п ди джей с БУ ДХ-Джей Джей ДТ Пи Эли 1В бу ДХ el dt u bu-u bu dx o. 18 Для последующего преобразования уравнения 18 вычислите w djc 5 d j6y −5 М а — 1 г 1 Д — Учитывая взаимосвязь 11 19 Следующий в j — х г 6й-г 6 лет ДХ г л, т 6й л, б-УР, Т 6й л, т — -У 0, Т бу 0, Т 0, Т бу 0, Т. 20 В точке x 0, стержень фиксируется.
Формула 20 является Дж у В. У-У vu Г А, О, О-У А О-У О-21 Введем результаты 19 и 21 в уравнение 18. — Джа с Пи 0 п ДХ ДТ Эл Дж Г я, т и Г я, т -г АО6У а 0 0. 22 Поскольку вариация уравнения 22 произвольна, то, следуя основной Лемме расчета вариации, это уравнение имеет вид ПиДжей уу 0, 23 Г А 0 0, Г А 0 0. 24 Уравнение 23 является желательным дифференциальным уравнением для частной производной изгибной вибрации стержня. Соотношение 24 представляет собой условие конца а стержня. Форма граничного условия неподвижного конца o стержня равна y p, 0 0, y 0, 0 0.
Смотрите также:
Предмет теоретическая механика
