Примеры решения систем показательных уравнений

Системы показательных уравнений

Примеры с решениями

Пример №206.

Решить систему уравнений

Решение:

Полагая заменим исходную систему алгебраической системой

которая равносильна системе

имеющей решение Следовательно, откуда находим

Ответ.

Пример №207.

Решить систему уравнений

Решение:

Полагая в (1) получаем уравнение , имеющее корни

Так как показательная функция принимает только положительные значения, то уравнение (1) равносильно уравнению откуда находим

Исключая из системы (2), (3), получаем уравнение имеющее корни Соответствующие значения определяются формулой (3).

Ответ.

Пример №208.

Решить систему уравнений

Решение:

Разложим правые части уравнений системы (4) на множители: Поэтому исходную систему можно записать в виде

Перемножив, а затем разделив почленно уравнения этой системы, получаем систему

которая равносильна системе

имеющей единственное решение

Ответ.

Пример №209.

Решить систему уравнений

Решение:

Положим Тогда система примет вид

Система (5) равносильна совокупности двух систем:

Система (6) не имеет решений. Система (7) является однородной. Разделив почленно ее уравнения и полагая получаем

откуда Значение следует отбросить, так как Если т. е. то из первого уравнения системы (7) находим Итак, т. е. откуда

Ответ.

Пример №210.

Решить систему уравнений

Решение:

Возведя обе части уравнения (9) в степень и учитывая, что преобразуем это уравнение к виду

Система (8), (10) приводит к уравнению

являющемуся следствием системы (8), (9). Это уравнение равносильно уравнению откуда

Из (11) и (9) получаем уравнение равносильное совокупности уравнений

Решив системы (11), (12) и (11), (13), находим и Обе эти пары чисел, как показывает проверка, образуют решение системы (8), (9).

Ответ.

Пример №211.

Решить систему уравнений

Решение:

Запишем систему в следующем виде:

Перемножив почленно уравнения системы (15), получаем

или

Уравнение (16), являющееся следствием системы (14), равносильно уравнению откуда Подставим в систему (15). Тогда каждое из уравнений (15) можно записать в виде откуда и тогда

Ответ.

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Задачи на сплавы и смеси с примерами решения

Задачи на совместную работу с примерами решения

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями