Оглавление:
Рациональные неравенства. Метод интервалов
Примеры с решениями
Пример №255.
Решить неравенство
Решение:
Заметим, что линейная функция 
меняет знак при переходе через точку
причем правее точки 
эта функция положительна, а левее точки — отрицательна.
Отметив на числовой оси точки 
, которые являются нулями (корнями) многочленов, стоящих в числителе и знаменателе дроби (1), разобьем числовую ось на пять промежутков (рис. 21.1).
На самом правом промежутке 
дробь (1) положительна, так как все множители в числителе и знаменателе этой дроби положительны при 
.
При переходе через каждую из отмеченных точек один и только один из этих множителей меняет знак, и поэтому знак дроби каждый раз меняется. Учитывая это, расставим знаки дроби (рис. 21.1). Итак, множество решений — объединение интервалов 
Ответ. 
Рассмотренный способ решения неравенств называется методом интервалов. Он применяется обычно при решении рациональных неравенств, т. е. неравенств вида
где 
и 
— многочлены.
Пример №200.
Решить неравенство
Решение:
Преобразуем неравенство (3) к стандартному виду (2):
Неравенство (4) равносильно неравенству (3). Отметив на числовой оси точки 
(рис. 21.2), определим знаки рациональной функции, стоящей в левой части неравенства (4).
Заметим, что числа 
и 
являются решениями неравенства (4), а числа 
и 
не принадлежат множеству решений.
Ответ. 
Пример №256.
Решить неравенство
Решение:
Квадратный трехчлен 
имеет корни 
и 
. Поэтому 
Квадратный трехчлен 
принимает положительные значения при всех 
, так как его дискриминант 
а старший коэффициент положителен.
Обозначим левую часть неравенства через 
. Функцияне определена при 
и 
и меняет знак при переходе через точки 
и 
Числа 
и (корни уравнения 
являются решениями данного неравенства. Строгое неравенство 
при 
равносильно неравенству 
Применяя метод интервалов (рис. 21.3), находим все решения исходного неравенства с учетом того, что числа 
и принадлежат множеству решений неравенства, а число 
не принадлежит этому множеству.
Ответ. 
Пример №257.
Решить неравенство
Решение:
Данное неравенство равносильно каждому из следующих неравенств:
Заметив, что 
а 
(поскольку 
), и применив метод интервалов (рис. 21.4), найдем решения исходного неравенства.
Ответ. 
Пример №258.
Решить неравенство
Решение:
Рассмотрим два случая: 
1)Если 
то 
и неравенство примет вид
Это неравенство равносильно следующему:
Отсюда находим 
2) Если 
, то исходное неравенство (при условии 
) равносильно неравенству 
откуда получаем 
Ответ. 
Пример №259.
Решить неравенство
Решение:
Разобьем числовую прямую на три промежутка точками 
и 
при переходе через которые меняют знак линейные функции 
и 
соответственно.
1) Если 
то исходное неравенство равносильно каждому из
неравенств
откуда, учитывая условие 
получаем 
2) Если 
, то исходное неравенство равносильно каждому из неравенств
откуда 
3) Если 
, то исходное неравенство равносильно каждому из неравенств
откуда 
Ответ. 
Пример №260.
Решить неравенство
Решение:
Неравенство (5) равносильно каждому из следующих неравенств:
При 
неравенство (6) не имеет решений.
Пусть 
, тогда 
и множество решений неравенства (6) — интервал 
Пусть 
тогда 
и множество решений неравенства (6) — интервал 
Ответ. Если 
, то 
если 
, то решений нет; если, то 
Пример №261.
Найти все значения 
, при которых вершины двух парабол
лежат по разные стороны от прямой 
Решение:
Вершины парабол лежат по разные стороны от прямой тогда и только тогда, когда числа 
и 
где 
и 
— ординаты вершин парабол, имеют разные знаки, т. е.
Чтобы найти 
и 
, воспользуемся методом выделения полного квадрата. Получим
Отсюда следует, что
и
Подставляя выражения для и в левую часть неравенства (7), получаем неравенство
равносильное следующему:
Разложив левую часть неравенства (8) на множители, получим равносильное ему неравенство
С помощью метода интервалов (рис. 21.5) найдем искомые значения 
Ответ. 
Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
