Оглавление:
Примеры представлений групп
- Пример группового выражения. Пример 1. Пусть G — симметрическая группа в трехмерном пространстве. Состояние, состоящее из двух элементов: преобразование личности I (Группа единиц) и отражение P в начало координат. Там Следовательно, G = {I, P}. Умножение групповых элементов задается в следующей таблице.
- 1) одномерное представление G Выберите базис ei в пространстве E1 и рассмотрите матрицу. Очевидно, преобразование A ^ 1) образует подгруппу в группу ne GL A) Линейное преобразование пространства E1, и Эта подгруппа определяется таблицей р Я Я р р р Я » Очевидно, получить одномерное представление G D ^ (I) = A ^ 1), D ^ (P) с использованием отношения (G) группа ^).
Линейное невырожденное преобразование A ^ 1) в этом пространстве: A ^ 1) = A). Людмила Фирмаль
Эти Соотношение определяет гомоморфизм группы G в GL A) И ее презентация). 2) 2D представление G Выберите базу Ei, B2 в E2 и учтите это Матрица A ^ и ?? B) Линейное невырожденное преобразование A ™ = — невырожденная — 1 0 0 1 (Det A ^ 2) = 1 и det B ^ 2) = -1 или позже Нью-Йоркской конверсии). Преобразования A ^ 2) и B ^ 2) образуют подгруппу группы GLB).
Прямая проверка (матрица A ^ и Б ^) оператор А ^ 2) и Б ^ 2 ^ блицкриг (9,35) ^ (G) и G (9,36) Фактически, сравнивая таблицы (9.34) и (9.35) (9.36) Определить изоморфизм группы G к подгруппам {A ^ 2), B ^ 2)} Группа GL B) и, следовательно, представление этой группы. A * 2) AB) A * 2) <2) <2) <2) AB) Получить двумерное представление соотношение.
3) 3D-представление G Рассмотрим линейное преобразование E3 На вопрос матрица 10 0 = @ 10 V о 1 Это преобразование образует подгруппу группы GL с) с законом. Умножить AC) AC) = A ^ 3 \ Получите 3D как в 1D представлении Представление D ^ (G) с использованием отношения:
- 4D представление G Рассмотрим линейное преобразование E4 матрица 1 0 0 \ о 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 \ 1 На вопрос / В 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 \ / Преобразования A ^ 4) и B ^ 4) образуют подгруппу группы GL D). Закон умножения приведен в таблице, аналогичной таблице tse (9,35) (Заменить индекс 2 индексом 4). Очевидно, мы Получить четырехмерное представление D ^ (G) из G соотношение = BD) _
Замечания. Матрицы A ^ и B ^ являются Написать как о о о о Таким образом, выражение D ^ (G) можно условно записать в следующем виде: де D ^ (G) = D ^ (G) + D ^ (G) = 2D ^ (G). Полностью аналог Условно D ^ 3) (G) можно записать в виде D ^ 3 ^ (G) = 3D ^ (G).
С помощью этого комментария читатели могут легко создавать презентации Группа G любой конечной размерности. Людмила Фирмаль
Пример 2. В § 5 § 2 этой главы Трехмерное пространство симметрической группы G = {I, P} для рассмотрения Нормальный делитель группы OC) (группа Ортогональное преобразование пространства я? 3). В том же пункте Подгруппа 50 c) Соответствующее ортогональное продвижение Образование группы OC) изоморфно группе OC group) Нормальный делитель {I, P}. Поскольку группы гомоморфно отображаются в каждой.
Факторные группы, тогда O C) гомоморфно отображаются в группу 50 C). Как мы видели в 5 § 3 этой главы, этот гомоморфизм реализуется Это так. От 50 С), если А является подходящим преобразованием из 0 С) То же преобразование поддерживается. Если ‘неуместное преобразование, оно будет присвоено ему Действие собственной конверсии Ра. Так что получите 3D представление DO C) Ортогональное преобразование группы C группой 50) Уникальное ортогональное преобразование.
Смотрите также:
