Пример Шварца

Оглавление:

Пример Шварца

Пример Шварца. Понятие площади криволинейной поверхности имеет известную аналогию с понятием длины кривой. Мы определили длину дуги как предельный предел окружности полилинии, вписанной в дугу, при условии, что длина всех сторон

равна нулю. В случае криволинейной поверхности (например, открытой) необходимо рассмотреть вписанную в нее многогранную поверхность и определить площадь криволинейной поверхности как предел площади этой многогранной поверхности.

Однако в конце прошлого века это определение было открыто. То есть Шварц в 1883 Людмила Фирмаль

году показал, что вышеуказанных пределов не существует даже в простом случае поверхности прямого цилиндра! Мы приведем полезный пример этого.3641§2. Площадь кривой поверхности 305 Пусть задан цилиндр, подобный радиусу и высоте 7/. Запишем поверхность многогранника следующим образом. Так как высота

цилиндра делится на t равных частей, а через точку деления проводят плоскость, перпендикулярную оси цилиндра, и на его поверхности получается окружность t1 (в данном случае включая окружность у основания обоих цилиндров), то каждая из этих окружностей делится на равные части n, h и затем b Кроме того, возьмем треугольники, образованные всеми шнурами этих дуг, а также отрезки,

соединяющие концы шнуров с верхним и нижним делениями Райс, пятьдесят четыре., Окружность, которая находится выше или ниже середины соответствующей дуги (рис. 53). В своей совокупности эти 2 группы равных треугольников образуют искомую поверхность многогранника (E).Его модель показана на рисунке. 54. Вычислим площадь каждого из треугольников. За основу берем строки равной

длины 27 лет? 81 ‘ Р-. п Чтобы найти высоту треугольника AB (см. Рисунок), 2+BC2== / D, где AC-OS-OA=n(1-Sov-In C= -. ] таким образом, площадь одного треугольника равна Ноль. =D8SH-C°8 , И площадь всей многогранной поверхности будет^t, n=2tpa=27? * п * ~ * г г?Когда T2^1-Pop+N * 9t и n бесконечно увеличиваются, диаметр всех треугольников стремится к нулю, но нет ограничения на площадь T, n. фактически, 306CH. XXII площадь поверхности.

Поверхность Предположим, что T и n возрастают так, что отношение связано с определенным пределом .. т т=я- Иметь НТ p81P-=я, п С другой Людмила Фирмаль

стороны, NT t(1-Sov — =NT t * 2z t3 = NT~~a.by предположение 2P2P2 2 4、, _ PT2T, » =2^Y I — +no , И мы видим, что этот предел во многом зависит от величины, то есть от способа одновременного увеличения t и I. Только в этом случае при #=0 этот предел равен 2P # N (следовательно, независимое друг от друга увеличение числа t и n до бесконечности для некоторой предельной области, и если оно стоит в перспективе приведенного выше определения, то число цилиндров будет равно нулю). Важно понимать разницу между поверхностью многогранника, вписанной в кривую, и поверхностью многогранника, вписанной в криволинейную поверхность. Для

простоты рассмотрим сглаживание кривых и криволинейных поверхностей, о которых идет речь. Затем, как только шнур, образующий полилинию, становится достаточно маленьким, каждое направление мало отличается от направления касания в любой точке соответствующей дуги, поэтому такие бесконечно малые струны, как альтернатива соответствующему элементу дуги, могут помочь улучшить точность. И наоборот, любая малая полигональная область,

вершины которой находятся на искривленной поверхности, не может быть полностью близка к своему положению в пространстве к касательной плоскости к поверхности. Эта ситуация полностью объясняется только что рассмотренным примером:все плоскости, касательные к цилиндрической плоскости, являются e r t и K a l n s, а плоскости вписанной плоскости в большой плоскости одинаковы.

Вычисление интегралов с помощью искусственных приемов	Сведение к обыкновенному двойному интегралу
Постановка задачи	Равномерное стремление к предельной функции