Пример исследования функций двух переменных

Пример исследования функций двух переменных

Пример исследования функций двух переменных. Частные производные позволяют изучать поведение функций во многих переменных, так как поведение функций в 1 переменной изучалось с помощью ее производных. Проблема нахождения максимального и минимального значений обсуждается ниже в§ 40 и 43.Здесь мы ограничимся 1 примером, рассматривающим функцию из 2 переменных.

Это позволяет получить 1 неравенство, которое поможет вам в дальнейшем. Людмила Фирмаль

• Для любого числа, определяемого a> 0, b> 0, p \и уравнением Справедливое неравенство Прежде всего, следует отметить, что уравнение, связывающее числа p и 7 (20.49), эквивалентно следующему соотношению: Это эквивалентно условию Это устанавливается путем прямой проверки. Чтобы доказать неравенство (20.50), функция Вычислите его частные производные. Из (20.51) x 0 и y 5 = 0 уравнения Это эквивалентно.

• Итак, точка (X, Y), которое удовлетворяет как условию ДХ (х, г)= 0 и условие D [/(х, г)= 0 лежит на кривой (20.55) или кривой. (20.56). Благодаря (20.49) и (20.52), он находится вдоль кривой (20.55). C +обозначает набор всех точек над кривой (20.55), включая саму кривую. А 0-совокупность всех точек первой координаты 1/4 (включая ось x)под этой кривой. Согласно формуле (20.54), существует^ (x, y) 0 в (x, y) e 0+, уфх ^ 1, а в (X, Y) ЕС〜и уфхр-1 соответственно (x, y) 0.

Здесь используется эквивалентность уравнений (20.55) и (20.56). Людмила Фирмаль

• Итак, вдоль отрезков, находящихся в множестве C +и параллельных оси x (рис. 93), функция P (x, y) строго increased. So если (x, y)∈C +、 Аналогично, на отрезке, который находится в множестве O-и параллелен оси y, функция P (x, y) также увеличивается strictly. So если (x, y)∈C и γφφ x-1, то снова Так что если ypxp \ x ^ 0, y 3> 0, то всегда P (k, y)<5.So, напомним вид функции P (см. (20.53)). Для 0, bΦ0、 АБ-4 -против бфара. Таким образом, доказано неравенство(20.50).

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Градиент функции.	Частные производные высших порядков.
Производная по направлению.	Дифференциалы высших порядков.