Пример №59.3.
Исследовать сходимость ряда

Решение:
Данный ряд расходится, т. к.

Теорема 59.1 дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное: из условия не следует, что ряд сходится. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых
.
В качестве примера рассмотрим так называемый гармонический ряд

Очевидно, что . Однако ряд (59.7) расходится. Покажем это.
Как известно (см. (17.14)), . Отсюда следует, что при любом
имеет место неравенство
. Логарифмируя это неравенство по основанию
, получим:

т.е.

Подставляя в полученное неравенство поочередно получим:

Сложив почленно эти неравенства, получим . Поскольку
, получаем
, т. е. гармонический ряд (59.7) расходится.
В качестве второго примера можно взять ряд

Здесь . Однако этот ряд расходится.
Действительно,

т.е. . Следовательно,
при
, ряд расходится.
Благодаря этой странице вы научитесь сами решать такие примеры, на ней содержится полный курс лекций с примерами решения:
Другие примеры с решением возможно вам они будут полезны: