Оглавление:
Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Как уже известно, приращение функции
в точке
можно представить в виде
, где
при
, или
. Отбрасывая бесконечно малую
более высокого порядка, чем
, получаем приближенное равенство

причем это равенство тем точнее, чем меньше
.
Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.
Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике.
Пример №24.3.
Найти приближенное значение приращения функции при
и
.
Решение:
Применяем формулу (24.3):
.

Итак, .
Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем :

Абсолютная погрешность приближения равна

Подставляя в равенство (24.3) значения и
, получим

или

Формула (24.4) используется для вычислений приближенных, значений функций.
Дополнительные примеры:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Производные высших порядков неявно заданной функции |
Производные высших порядков от функций, заданных параметрически |
Дифференциалы высших порядков |
Теоремы о дифференцируемых функциях |