Оглавление:
При нахождении площадей плоских фигур, ограниченных некоторыми линиями, удобно использовать следующий алгоритм:
- Построить фигуру, площадь которой требуется найти.
- В соответствии с таблицей 23.1. определить вид фигуры и составить формулу для вычисления площади фигуры. Следует обратить внимание на границы интегрирования. Если они не следуют непосредственно из условия задачи, а определяются пересечением графиков каких-либо функций, то границы
интегрирования следует находить аналитически, приравнивая соответствующие функции. - Вычислить площадь фигуры. Следует помнить, что площадь есть число положительное.

При составлении таблицы 23.1. учитывалось свойство аддитивности площади: если фигура состоит из двух и более частей, то для нахождения площади фигуры нужно сложить площади ее частей (рис. 23.3).
Таблица 23.1
Виды фигур, площадь которых находится с помощью определенного интеграла

Пример №23.1.
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями , отрезком
оси
, прямыми
и
.
Решение:
1. Построим заданную фигуру. График функции — синусоида, строится с использованием следующих характерных точек:

Прямые и
проходят через соответствующие точки и параллельны оси
. В итоге получим фигуру, обозначенную штриховкой на рис. 23.4.

2. Согласно таблице 23.1. рассматриваемая фигура соответствует 3 типу. Её площадь находится как сумма площадей двух частей фигуры: части, находящейся выше оси , и части, находящейся ниже оси.
Площадь части, находящейся выше оси , можно найти по формуле
.
Площадь части, находящейся ниже оси , можно найти по формуле
.
Вычислим и
:


Для нахождения общей площади , сложим значения
и
:
Ответ:
Пример №23.2.
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями и
.

Решение:
1. Построим фигуру, ограниченную графиками функций и
(рис. 23.5). Линия, задаваемая уравнением
— прямая. Построим ее по двум точкам.
1. Построим фигуру, ограниченную графиками функций и
(рис. 23.5). Линия, задаваемая уравнением
— прямая. Построим ее по двум точкам.

Линия, задаваемая уравнением — парабола, ветви которой направлены вверх. Построим ее методом преобразований: выполним параллельный перенос графика функции
на 1 единицу вверх.
Получили фигуру, ограниченную двумя графиками функций.
2. Согласно таблице 23.1. рассматриваемая фигура соответствует 6 типу. Её площадь можно вычислить по формуле: , где
— функция, ограничивающая фигуру «сверху» (
), a
— функция, ограничивающая фигуру «снизу» (
).
Границы интегрирования и
в данном случае не следуют непосредственно из условия задачи. Решив уравнение
, мы найдем абсциссы точек пересечения графиков соответствующих функций, т.е.
и
.
. Найдем корни уравнения по теореме, обратной теореме Виета:
или
. Следовательно,
.
Составим формулу для вычисления площади искомой фигуры: .
3. Вычислим значение площади:




Ответ:
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
Интегрирование по частям. |
Геометрический смысл определенного интеграла |
Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения. |
Понятие несобственного интеграла |