Оглавление:
Как уже отмечалось, дифференциальные уравнения находят широкое применение в практической деятельности человека. Рассмотрим некоторые задачи, сводящиеся к решению дифференциальных уравнений.
Пример №38.6.
Составить уравнение линии, проходящей через точку и имеющей в каждой точке угловой коэффициент касательной
.
Решение:
Обратимся к геометрическому смыслу производной: или
. Поскольку
задано в условии задачи, то можно составить уравнение:
— простейшее дифференциальное уравнение первого порядка.
— семейство линий, имеющих в каждой точке угловой коэффициент касательной
.
Выделим уравнение одной линии, проходящей через точку . Подставим в уравнение
значения
и
:

Получили, что — уравнение линии, проходящей через точку
и имеющей в каждой точке угловой коэффициент касательной
.
Ответ: .
Пример №38.7.
Тело движется прямолинейно со скоростью . Найдите закон движения тела, если при
тело находилось в начале координат.
Решение:
Воспользуемся физическим смыслом производной: . Поскольку
задано в условии задачи, то можно составить уравнение:
— простейшее дифференциальное уравнение первого порядка.
— общее решение дифференциального уравнения.
Найдем частное решение этого уравнения. Поскольку по условию при тело находилось в начале координат, подставим в уравнение
значения
и
:

Подставляя в общее решение, получим, что
— искомый закон движения тела.
Ответ: .
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся: