Оглавление:
Приближенное вычисление определенного интеграла
Пусть требуется найти определенный интеграл от непрерывной функции
. Если можно найти первообразную
функции
, то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

Но отыскание первообразной функции иногда весьма сложно; кроме того, как известно, не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих и других случаях (например, функция задана графически или таблично) прибегают к приближенным формулам, с помощью которых определенный интеграл находится с любой степенью точности.
Рассмотрим три наиболее употребительные формулы приближенного вычисления определенного интеграла — формулу прямоугольников, формулу трапеций, формулу парабол (Симпсона), основанные на геометрическом смысле определенного интеграла.
Формула прямоугольников
Пусть на отрезке , задана непрерывная функция
. Требуется вычислить интеграл
, численно равный площади соответствующей криволинейной трапеции. Разобьем основание этой трапеции, т. е. отрезок
, на
равных частей (отрезков) длины
(шаг разбиения) с помощью точек
. Можно записать, что
, где
(см. рис. 199).
В середине каждого такого отрезка построим ординату
графика функции
. Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью
.

Тогда сумма площадей всех прямоугольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла

Формула (42.1) называется формулой средних прямоугольников.
Абсолютная погрешность приближенного равенства (42.1) оценивается с помощью следующей формулы:

где — наибольшее значение
на отрезке
,

Отметим, что для линейной функции формула (42.1) дает точный ответ, поскольку в этом случае
.
Формула трапеций
Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.
Разобьем отрезок на
равных частей длины
. Абсциссы точек деления
(рис. 200). Пусть
— соответствующие им ординаты графика функции. Тогда

расчетные формулы для этих значений примут вид ,
,
;
.
Заменим кривую ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат
и
(
). Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями
,
и высотой
:

или

Формула (42.2) называется формулой, трапеций.
Абсолютная погрешность приближения, полученного по формуле трапеций, оценивается с помощью формулы
,
где . Снова для линейной функции
формула (42.2) — точная.
Формула парабол (Симпсона)
Если заменить график функции на каждом отрезке
разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного вычисления интеграла
.
Предварительно найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы
, сбоку — прямыми
и снизу — отрезком
.

Пусть парабола проходит через три точки , где
— ордината параболы в точке
— ордината параболы в точке
— ордината параболы в точке
(см. рис. 201). Площадь
равна


Выразим эту площадь через . Из равенств для ординат
находим, что
. Подставляя эти значения
и
в равенство (42.3), получаем

Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла .
Для этого отрезок разобьем на
равных частей (отрезков) длиной
точками
. В точках деления
вычисляем значения подынтегральной функции
:
, где
(см. рис. 202).
Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными , одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным
. На отрезке
парабола проходит через три точки
. Используя формулу (42.4), находим


Аналогично находим

Сложив полученные равенства, имеем

или

Формула (42.5) называется формулой парабол (или Симпсона).
Абсолютная погрешность вычисления по формуле (42.5) оценивается соотношением
, где
Отметим, что формула (42.5) лает точное значение интеграла во всех случаях, когда
— многочлен, степень которого меньше или равна трем (тогда
).
Пример №42.1.
Вычислить , разбив отрезок интегрирования [0; 2] на 4 части.

Решение:
Имеем: ,

(см. рис. 203)
а) по формуле прямоугольников:

, т.е.
б) по формуле трапеции:
т.е.
в) по формуле парабол:
т.е.
Точное значение интеграла .
Абсолютные погрешности соответствующих формул таковы:
.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Вычисление площади поверхности вращения |
Работа переменной силы |
Предел функции двух переменных |
Непрерывность функции двух переменных |