Оглавление:
Приближение непрерывных функций многочленами
Приближение непрерывных функций многочленами. Определение 10.Тип функции Н добро пожаловать на наш сайт! 81P х к-1 Порядок n, n-0, 1, 2,… * Называется треугольным многочленом (полиномом). Теорема 7 (Вейерштрасс).Если функции / непрерывны с интервалами| π]и/ (π)= /(π), то для каждого числа e 0 существует треугольный многочлен T (x), который выглядит следующим образом: Х | ф(Щ) Т(Х). Фактически, благодаря теореме 6 (см.§ 55.6), для такого треугольного многочлена мы можем взять, например, соответствующую сумму Фейера op (x). Теорема 8 (Вейерштрасс).Если функция / непрерывна на интервале[a, 6], то для всех ε0 существует алгебраический многочлен P (x), который выглядит следующим образом: ！ Ф(Х) р (х)| 8, 0 х б.
И поскольку треугольный многочлен является аналитической функцией и поэтому расширяется до ряда, который должен сходиться по реальной прямой, он сходится равномерно на каждом конечном отрезке. Людмила Фирмаль
- Доказательство. Отображение сегментов [0, i]на сегменты [a, b] линейно. х = а + б ^(, 0, а ^ х ^ б、 И пусть ( * * ) ■функция/ *определена в этом виде [0, i]мул. Равномерно расширяется до интервала [i, 0]. другими словами、 / *（*）= / *（-I) Если (= [i, 0]. * ’Здесь рассматривается Ba = 0. § 55. Тригонометрический ряд Фурье Триста семьдесят четыре Полученная таким образом функция f * непрерывна с [i, i] (почему? И f *(i)= f *(i). Итак, согласно теореме 7, для любого числа e 0 существует треугольный многочлен T ((), который выглядит следующим образом: 1 / *(0-t (OI | * W $ M и k-1, 2, Как вы знаете… (см.§ 37).
И Т (0 = в) тиристора. * = о Пн (!Если A) является частичной суммой этого ряда, то равномерная сходимость в интервале[-i, i]приводит к тому, что число e существует, например π2=я. \ T(1) Pn (()| -* -, _ я. Для ясности, если взять= =е и установить Ц)) Pn (/)、 1П(0 П)（01 * ^ 1 / *（0-7（01 + 1м(0 ^(01 | + 2 еЕсли вы установите переменную x обратно, т. е. I =xx -, вы можете увидеть, что^ ^ ^ ^, очевидно, является многочленом. Я не уверен. Замечание. Продолжайте функцию/с интервалом[a, b].Ряд чисел e» −0, i = 1,2. Например, rn=^;, который склонен к нулю, а затем, согласно теореме 8, каждый i = 1,2,…Для полинома PN (x) существует (здесь серийный номер, а не степень полинома). \ 1(х) РП (х)\ рН, а <х <б. (55.43） Очевидно, что для η * ° ° интервал[a, b]имеет Hn(x)= * /(x).
- Поэтому все функции, смежные в интервале, являются границами последовательности полиномов, сходящихся равномерно в этом интервале. Обратная, то есть функция, являющаяся ограничением последовательности полиномов, сходящихся равномерно на определенном интервале(и, более того, последовательности любой непрерывной функции), уже оказалась непрерывной на этом интервале(см. теорему 36.4 8). 55.8.Полнота тригонометрии и частотные системы 375 Очень интересно отметить, что понятие непрерывности функций первоначально было введено нами в абстрактно-общем виде, и оно не имеет абсолютно ничего общего с фундаментальными функциями конкретного класса, в частности с многочленами, а следовательно, и с аналитическим выражением функций многочленами.
Теорема Вейерштрасса показывает, что класс непрерывных функций, введенных таким образом, не так уж далек от класса многочленов в некотором смысле! Другими словами, независимо от того, насколько функция/непрерывна на интервале, независимо от того, насколько мало заданное число eO, всегда будут существовать полиномы с другим E, чем функция/на протяжении всего интервала. То есть она будет приближаться(приближаться) к любой, до заранее заданной точности! Нетрудно получить аналитическое выражение в виде ряда полиномов последовательных функций в интервале.
Таким образом, теорема Вейерштрасса устанавливает свойства только непрерывных и непрерывных функций. Людмила Фирмаль
- От (55.43) }(х)= РП (х), А ^ х ^ б,(55.44） GS * * С Или И Я(х)= п(х)+ 2 [РПП(х)-РП(х)] (55.45） н-я (Pn (X) многочлен), а (55.44) тенденция к пределу и сходимость ряда (55.45) происходит равномерно по интервалу[a, bin addition, как наличие ограничений (55.44), так и разложение (55.45) являются необходимыми и достаточными условиями непрерывности функций в рассматриваемом отрезке consideration. It обосновывается интуитивное понятие функции как аналитического выражения, состоящего из независимых переменных и констант посредством алгебраических и аналитических операций. Аналогичное мнение можно высказать и о теореме (теорема 7) первого Вейерштрасса.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
