Оглавление:
Преобразование фурье в пространстве S
Преобразование фурье в пространстве S. Каждая функция fe5 может быть полностью integrated. In кроме того, для φe 5, k-1, 2,…в этом случае функция x *φ ( * ) также полностью интегрируется через численное axis. In факт, для функции фе5 выполняется условие (59.23) 、 | х * φ (х) / ^ ка, о、 Х21 х’chr (х) я = ХК | 2р(х) / Ки + 2, Ох от SK. Насчет Д-2.Около 1 + X2 (59.27） И так оно и есть.、 Я * * Ф (Х) я Здесь, справа, есть функция, которая может быть абсолютно интегрируемой на всей числовой оси; поэтому, из-за сравнительного критерия неправильного интеграла, функция 59.6.Преобразование Фурье пространства 5 Пятьсот тридцать три Для всех k = 0, 1, 2、 fe5 имеет классическое преобразование Фурье 4 «и Ф=Р[ф] = / Φ (x) e-1 * yx, Φe5, (59.28） КОМПАНИЯ. И обратное преобразование Фурье + КОМПАНИЯ P1 Fe5Компания.
Классическая особенность преобразования Фурье понимается в том смысле, что записанный интеграл является обычным абсолютным сходящимся интегралом, а не интегралом в смысле основного значения. Людмила Фирмаль
- (см.§ 56.3). Кроме того, формула инверсии для 5 является прямым и обратным преобразованием Фурье (см. раздел 56.5). ^ [^ ’1 [Ф]] =Ф^ 1 [ф]] = Ф-Фе5. (59.29)） Например, 2-я форма этих выражений в целочисленной форме + о° ^ ’1 [φ] = р ^ ^ г (г)exYy = г,(х). Теорема 1.Фурье и обратные преобразования Фурье отображают пространство 8 линейно и непрерывно, от 1 до 1. Доказательство. для feX, fb.5. Во-первых, k = 0, 1, 2,…Для каждой из функций φχχ, как показано выше, функция X * φ (X), согласно теореме 4, из того факта, что она полностью интегрируема по всей числовой оси, 56.10 показывает, что преобразование Фурье функции φ {,=γ[φ]существует и является бесконечно дифференцируемой функцией.
Оцените функцию| ynΦ (, π (y)!, Где η и RR-неотрицательные целые числа. Применяя формулу к производной преобразования Фурье (см.§ 56.10) и преобразования Фурье производной (см.§ 56.8), мы видим: (г) уя ф (т) (г) = я | ynP {м) [φ] | = | упр [ХТФ] | = 4 * ОО = | / 7 [(ДТФ)(Н)] | = | (хм(р(х-))(н) е-х ХХ КОМПАНИЯ. 4 * ОО $ (сабвуферы(х) гг)\ ух. § 59. Обобщенная функция Пятьсот тридцать четыре Заметим, что выражениеx M p (x) является линейной комбинацией выражений вида xpcp (q) (x), по правилу дифференцирования. Где p и 7-неотрицательные целые числа, и, как указано выше, φ? А) Е 5.Отсюда и функция (см. (59.27)) (1 + * 2) л. РФ(?(x) ограничивается всей числовой осью, поэтому функция (1 + x2) также ограниченаxtf (x), то есть Зир(1 + Х2)| ХТФ (х)| + оо. сотрудничество* -} ОО.
- Умножьте число подынтегральных выражений, полученных выше, делением на 1 + x2 и рассмотрим следующее: Ага. 1 + Х2 от yn (t) (y) ■ Джилл +00 (1 + Х2)!^ ( * ) (») 11 Компания. = Г-Зир(1 + Х2) 1(ХТФ (х)) я |. (59.30） Получить его. Потому что конечное значение находится справа, fb5. Таким образом, преобразование Фурье отображает 5 на 5, и это отображение равно 1 к 1 (см. лемму§ 55.5 3). Аналогичным образом было показано, что обратное отображение Фурье (Γ1) отображается от 5 до 5, а затем от 1 до 1.In на самом деле, легко видеть, что эти отображения происходят в пространстве 5, то есть они являются omnisplay.
Это следует непосредственно из обратной формулы (59.29) для прямого и обратного преобразования Фурье * K. Действительно, это указывает на то, что P(3) соответствует всему пространству 5. И затем… T [Ф] =Т[Т-1 [ф]] =ф. Точно так же это доказано P 1 (8)= 5. Линейность преобразования Фурье была отмечена ранее (см. лемму 55.5 в§ 2). Здесь мы докажем непрерывность отображения P. * «Из того, что P (5)= P ^ 1 (5)= 5, отметим, что в Формуле (59.29) все интегралы существуют не только в значении основного значения, но и в обычном смысле (56.5). 59.7.
Непрерывность обратного преобразования Фурье доказывается точно таким же образом. Людмила Фирмаль
- Преобразование Фурье обобщенной функции Пятьсот тридцать пять Во-первых, мы доказываем непрерывность в нуле. Пусть Pgafy = 0 в 5.С тех пор (59.30) к * Х Я уя Ф * М)(Г)и y%Зир(1 + Х2) я {xmw(х)) (п)\, к = 1, 2,…. Но из(59.24) (если φ (x)= 0) Пт Зир(1 + Х2)] (хм(х)) (н)] = 0; к * СО х И так оно и есть. Г / н * т) (г)| = 0, т. е. ntfy = 0 в 5. к * СО г * К * со Преобразование Фурье является линейным отображением из линейного пространства 5 в линейное пространство 5 и непрерывно в нуле, поэтому оно непрерывно во всех точках этого пространства (см. лемму 3 59.2). Таким образом, преобразование Фурье P будет отображать 5 на 5 непрерывно. Ноль.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
