Оглавление:
Преобразование Фурье обобщенных функций
Преобразование Фурье обобщенных функций. Во-первых, мы докажем 1 полное равенство. Предположим, что функция / непрерывна и абсолютно интегрируема по числовой оси и равна Φ5. 4 ″ °«(ОО-{ко» {ко 5φ (χ) ^ ^ / (y) e〜1xy Lu = $ / (y) Lu \ φ (x) LX. (59.31） Это следует из теоремы раздела 54.3 7.In факт, есть повторяющийся Интеграл на левой стороне, потому что интеграл существует 4-00 F (х) 5 /(г) е ’ ху Лу КОМПАНИЯ. +00 4-ОО 4 ″ 00 Lx ^ \ / φ ()) \ х^ / / (y) 1 Du Ко-ОО если [a, b]является произвольным отрезком, то функция / ограничена[a, b]в силу своей непрерывности. Следовательно ) / м \、 Я /(Г) Φ(х) е〜 ‘ху | м 1 <Р(А)|, А <Г <Б. 4-ОО Таким образом, сходимость интеграла§ / ψ (y)\ Lx равна Да. 4 «и Интеграл по интервалу[a, b] / (y)$φ (x) E〜 ‘xyЛχ ’ размерная сходимость. § 59.
Поскольку он конечен, все условия теоремы 54.3 выполняются, если они рассматриваются, так что порядок консолидации может быть перестроен. Людмила Фирмаль
- Обобщенная функция Пятьсот тридцать шесть Следующий. / Φ (π) / ^ c0, o. oo x + oe (см. 59.23)); таким образом 4 » 0о Если(Х)! (Г) е〜1xu я ^ ц0, о | /(г) 1, а Интеграл$ | /(г)\ ый ОО. Ребенок, потом Интеграл Ч-00 Ч М ^ /(Г) Е ^ ху уу ОО. Он сходится равномерно по всей оси. Наконец, Интеграл + ОО + 0о 4-00 4-00 5 ух ^ {φ ()) у)) Е-1 * \ уу = 5 1ф (х) [Т $ 11Вт&г КО-ОО-ОО-ОО Равенство (59.31)было доказано. Если функция P [/] производит функцию с числом 5 (например, удовлетворяющую условию (59.25) или полностью интегрируемую по числовой оси), то умножение равенства (59.31) на 1 /} /2я приведет к: (^[/].ф)=(Л^ [ф]), ре5. (59.32).
Используйте это выражение в качестве определения преобразования Фурье обобщенной функции из пространства 5. Определение 23.Преобразование Фурье обобщенной функции) e5 ′ это функция P [/], определяемая выражением (59.32). Итак, из обобщенной функции (8) определяется ее преобразование Фурье p|].Значение функции E (/] в любой точке φ пространства 5 равно значению функции[e [φ] e 5 В качестве примера приведем преобразование Фурье единиц, которое рассматривается как обобщенная функция. Очевидно, 1e5’.Есть + ° , + 9° (1, Ф)=(1, Ф)= | юуг 3 4 (х) exhuah = ОО-ко. 4-00 + 0° = / / 22π > ^ yy ^φ (x) e’V-x) yx | * = o = Оо-оо. =)/2πφ (0 / =σ 22π(6, φ) (здесь мы используем лемму 1 и 56.5.So это гамма= /2π 6. Вообще говоря, следует отметить, что преобразование Фурье функции феи E [φ]не принадлежит пространству O.
- Это E [φ] 59.7.Преобразование Фурье обобщенной функции Пятьсот тридцать семь Не всегда конечная function. So выражение (59.32) не имеет смысла для всех/ s’.Поэтому при рассмотрении преобразования Фурье обобщенной функции необходимо было сузить класс введенной ранее обобщенной функции до медленно растущей обобщенной функции. Преобразование Фурье обобщенной функции/P [[] также обозначается символами / или символами. +° т я /нет» * * ■ Э. .. Следовательно, равенство + ОО ю $ НХ)е ^ ух = П [[](59.33） КОМПАНИЯ. Если /является обобщенной функцией, то определение символа в левой части этого уравнения. В частности, после определения преобразования Фурье всех обобщенных функций мы также определили условия (59.25), которые удовлетворяют обычным функциям/условиям, то есть преобразованию Фурье функций класса, который намного шире, чем выполнялся ранее(§ 56.5 и 58.7*).
Это одна из очень важных ситуаций, которая обосновывает целесообразность введения понятия обобщенной функции. Один Преобразование Фурье обобщенной функции указывает на то, что она обладает многими свойствами, аналогичными классическому преобразованию Фурье, то есть преобразованию Фурье абсолютной интегрируемой функции. Лемма 7.Преобразование Фурье обобщенной функции/ = 8/] также является обобщенной функцией класса 8.То есть P [/]является линейной и непрерывной функцией на пространстве 8. Доказательство. Проверьте линейность преобразования Фурье. Это означает, что обобщенная функция/ e 5 ′ указывает, что равенство истинно для функций φe 5, φe 5 и любого числа яиц.
Если f является полностью интегрируемой непрерывной функцией, то это равенство выполняется в обычном смысле. Людмила Фирмаль
- (/7 [ / ], Яф + фф) = ((/[ / ], Φ）+（（/ =■[/]、Φ).Конечно. (Р [/], б + Ф)= ^ ( / , ^ [М+) * ϕ])= = ( / , Щф]+ ^ [ф])=Pi ( / , ры) + р(1, р№= = Б(р [Т\, φ)+) а(^ [/].Φ）Проверьте непрерывность преобразования Фурье. f eφφф= 5, 5,= = 1, 2 иглы φ » =φИ, следовательно、 Ф 59.Обобщенная функция 538. (См. теорему 1, пункт 59.6）、 Hm ^ [φ»] = E [Ф]. Л * с Тогда по/ 5 из-за непрерывности функции、 Золото (E [ / ], Φn) = золото ( / , E [Ф]]] = ( / , Е[Ф])=(Е [ / ], ф). п-оо П + ко Так что если / e тогда□ Обратное преобразование Фурье элемента E-1 [/] e5 ’также определяется как функционал пространства 3′, определяемый следующим уравнением: (п tΦ)=(/.п -’ Это подтверждается так же, как и в случае выражения (59.31).по определению, это также зависит(ср.(59.33）） + 9° ^!(х) Е1 * г 1х = П -’ [{}. (59.34)） Компания. Как и в случае прямого преобразования Фурье E, в случае/ e5 ’указывается, что это E1 [/] e5′. Теорема 2. P преобразование Фурье и обратное преобразование.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
